Mathematics
มัธยมปลาย
เคลียร์แล้ว
約数の個数などについてです。
(3)の七行目から八行目のイコールの意味がわかりません。どなたか解説お願い致します。
自然数nの正の約数の個数を (n), 正の約数の総和をS(n), 正の約数それぞれの逆数の和を T (n) とす
る。このとき,次の各問いに答えよ。
(1)
(360), S(360), T (360) をそれぞれ求めよ。
S(n)
(2)
をnの式として表せ。
T(n)
(3) 自然数nが, 自然数mと2より大きい素数により n=2m.pと表されており, T(n)=2が成立し
ているという。このとき, (n), p をそれぞれを用いて表せ。
(2) の(n) 個 (便宜上, N = (n) と表す) の正の約数を小さい方
から順に d1,d2, ..., dy と定める。 このとき, (1)と同様に考えると,
N個の整数 (k=1,2,..., N) は, N の正の約数全体と一致
する。 よって
n
dk.
n
d2
⇒ n.T(n)=S(n)
72
d₁
+
+
よって,
..
+
が成り立つので,T(n)≠0を考慮して,
S(n)
= n......(答)
T(n)
(3) T(n)=2のとき, (2) より,
n.T(n)=S(n)
⇔S(n) = 2m
⇒ S(n) = 2m+1.p ...... ①
n
dN
が成り立つ。 いま, n=2.p において, pが2より大きい素数で
あることから,
となる。 よって, ①②より,
p = 2m+1
= d + d2 + ･・･ +dx
S(n) = (2° + 21 + ... + 2m) (p + p1 )
2m+1-1
(p+1)
2-1
=
= (p+1)(2m+¹ − 1) ······2
1
2m+1.p = (p + 1)(2m+1 − 1)
คำตอบ
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素早い回答ありがとうございました。