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基本例題 102 最小公倍数から自然数の決定
次の条件を満たす自然数n を､ それぞれすべて求めよ。
(1) 16 の最小公倍数が144 である。
(2)
1250の最小公倍数が1500 である。
・
CHART O OLUTION
最小公倍数からもとの自然数n を決定する問題ITUTO
①与えられた自然数, 最小公倍数を素因数分解する
②②
nの素因数の組み合わせを見つける
16=24, 144=24.32
解答
(1) 16 144 を素因数分解すると
16=24,144=24.32
(1) 16 144 を素因数分解すると
よって,n を素因数分解すると、その素因数には 32 が含まれる。あとは、2か
共通するから,nを素因数分解したときの 2 の指数 α について考える。
1223,50252, 1500=22・3・5°であるから, n=24･3･53 の形。
よって, 16 との最小公倍数が144 である自然数nは
n=2.3² (a=0, 1, 2, 3, 4)
と表される。
28 (2
したがって, 求める自然数nは
n=2°･32, 21･32,22･32 23･32, 24･32
すなわち n=9,18,36,72, 144
(2) 12,50,1500 を素因数分解すると
12=22･3,502・52,1500=22・3・53
よって, 12,50の最小公倍数が1500 である自然数nは
n=2@.3°•5® (a=0, 1, 2;b=0, 1)
10100000
と表される。
したがって 求める自然数nは
p.388, 389 基本事項 3,8
n=2°･3°･5¾, 2･3°･5°, 22･3°･53,
20-3¹-53, 2¹-3¹-5³, 2².3¹.5³
すなわち n=125,250, 500, 375,750, 1500
16=24•3°
◆最小公倍数が素因数3
を2個もち 16は素因
数3をもたないから,
は素因数3を2個もつ。
◆最小公倍数が素因数5
を3個もち、12は素因
数 5をもたず,50は素
因数5を2個しかもた
ないから、nは素因数5
を3個もつ。
