Mathematics
มัธยมปลาย
เคลียร์แล้ว
数列の極限（2）についてですが、はさみうちで挟む問題ですが、不等式で挟むのにどこから1/4（4k^2-1）が出てきたのでしょうか
解答のプロセスを知りたいです
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例題100 はさみうちの原理(3)
解答
次の極限値を求めよ.
2n
1 { n => 7
limin
練習
n→∞ k=n
X
考え方 (1) (2k-11 (2k+1)-1/12 (21) と部分分数に分解する。
2k+1.
(2) k≧1 のとき,0<=(4k²-1)<k<k+k であるから,
4
114
より+1) << (2k-1)(2k+1) が導かれる。
k²
(1)
k² + k k²4k²-1
2n
2n. (2k-1)
Ž
k=n(2k-1)(2k+1)
(2k-1)(2k+1).
1
2n-1
H(₂ 2n+1)+(2n+1=2n+3)+...+(₁²-1
2
1
1
#07 2 2n-1
よって,
よって,
ここで,
また, n
-
2
1
4n+1
2n
im {n 2 (2k-1)(2k +1)}
k=n
- lim
n→∞
n
2n
2n
n→∞
k=n 22k.
2-
2n
(2) limn
( n 2 71
n→∞
k=n
2n
(1) の結果を用いると
1
(2) k より 01/12 (41) <<+kが成り立つから,
1
1
4
k2tkk2
14²1
次の極限値を求めよ.
n
1
4+
n
k=nk(k+1)
lim {nk{(k+1)} =
n→∞
>"),
つまり、
STU
1 1
2 2
n
-lim 2/2 (2n-1-4n+1)
n→ 00
<n> 72 <n>
k=nk²
4
=limn{(²²_n²+₁)+(n+₁_n²₂) +
=lim n ( 1²2-22² + 1) = 1 - ² = 1/1/1
n→∞
n
2n+1
2
2n ESO 2n
=4•nΣ
k=n(2k-1)(2k+1)
(東京理科大)
4
<1/12<
k(k+1) k² (2k-1)(2k+1)
..1
k=n(2k-1)(2k+1)
2n
=lim nΣ
n ²² ( 1 / - / + 1)} <0)
k
n→∞
k=n
k+1
***
+2)+..+(1/2/27
1
4n+1,
より、
k=n(2k-1)(2k+1)
2n
lim n D) (2k + D)} = 4 + 1/² = 1/²/2
n→∞
k=n(2k-1)(2k+1)]
8
よって, ①, ②, ③ とはさみうちの原理より,
2n
limn
n→∞
(2n+1)
2n
(n-1) - 1²/2
คำตอบ
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