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f^(k)(x)=a^k+n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)(ax+b)^(n-k)
ここで、n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/k!なので、
求める高次導関数は
a^k n!/k!(ax+b)^(n-k)だと‘‘予想できる’’
あとは数学的帰納法なりで証明してください
ごめんなさい!
n!/(n-k)!
ですね、、、
n!=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)...3*2*1
(n-k)!=(n-k)(n-k-1)...3*2*1
なので
わかりました!ありがとうございます‼︎
あと最後の数学的帰納法を使って証明する方法がわからないので教えていただきたいです🙇♂️
f^(k)(x)=a^k n!/k!(ax+b)^(n-k)について、
k=1のとき、これを満たすことを確認。
2≦l≦n-1なるlに対して
l次導関数を
f^(l)(x)=a^l l!/(n-l)!(ax+b)^(n-l)…(*)と仮定して、
k=l+1のときも仮定が成り立つことをしめす(すなわち、(*)をもう1回微分する)
これにより、f(x)をn回微分すると、
a^n*n!となります。
よって、n+1回目以降の微分は0
さらにいうとここまで考える必要がありますね。
(連投失礼しました)
まずなぜ2≦l≦n-1について考えるのか、
f^(l)(x)=a^l l!/(n-l)!(ax+b)^(n-l) …(*)のように仮定できるのかが分かりません。
また、f(x)をn回微分するとa^n*n!となり、そこからn+1回目以降の微分は0といえる理由が分かりません。
すごく簡単なことを質問してしまっているのかもしれないのですが教えていただきたいです🙇♂️
k=l+1回目でも微分できる必要がありますが、階乗は負の数では定義されないので(0!は1と定義されてます。つまり、n-(l+1)≧0⇔l≧n-1
となります。
また、a^n*n!は定数です。定数の微分は0なので(a^n*n!)'=0です。
n-(l+1)≧0⇔l≧n-1はなぜn-(l+1)≧0⇔ l≦n-1とはならないのですか?
あ!ごめんなさいl≦n-1です
分かりました!
ありがとうございます!!
なぜn(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/k!となるのか教えていただきたいです🙇♂️