Question

ぴい

数Ⅲの高次導関数の問題です。
(1)の解き方、答えは合っているのでしょうか？
また、他の3問の解き方を1問でもいいので教えていただきたいです🙇‍♂️

3.5 高次導関数
次の各関数の第k次導関数を求めよ。
(適当な次数までの導関数を計算することによって形を予測し、それが正しいことを証明する)
(1) f(x)=(ax+b)"
(a,bは定数、nは自然数)
f(x)= n(ax+a)" (ax+b)^
=an(ax+b)^-1
f(x)=an(n-1)(ax+ey-2. (ax+e)'
=a'n(n-1)(axe)-2
f) - dn(n-R+1) (ax+e)"^*
f(x)=

¹- ¿*► = (x)ƒ (8)
I

(3) f(x) = sin 2x cos x
(4) f(x) = C² sinx

微分 高次導関数

Answer 1

冒昧

f^(k)(x)=a^k+n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)(ax+b)^(n-k)
ここで、n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/k!なので、
求める高次導関数は
a^k n!/k!(ax+b)^(n-k)だと‘‘予想できる’’
あとは数学的帰納法なりで証明してください

ぴい

なぜn(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/k!となるのか教えていただきたいです🙇‍♂️

冒昧

ごめんなさい！
n!/(n-k)!
ですね、、、
n!=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)...3*2*1
(n-k)!=(n-k)(n-k-1)...3*2*1
なので

ぴい

わかりました！ありがとうございます‼︎
あと最後の数学的帰納法を使って証明する方法がわからないので教えていただきたいです🙇‍♂️

冒昧

f^(k)(x)=a^k n!/k!(ax+b)^(n-k)について、
k=1のとき、これを満たすことを確認。
2≦l≦n-1なるlに対して
l次導関数を
f^(l)(x)=a^l l!/(n-l)!(ax+b)^(n-l)…(*)と仮定して、
k=l+1のときも仮定が成り立つことをしめす(すなわち、(*)をもう1回微分する)

これにより、f(x)をn回微分すると、
a^n*n!となります。
よって、n+1回目以降の微分は0

さらにいうとここまで考える必要がありますね。
(連投失礼しました)

ぴい

まずなぜ2≦l≦n-1について考えるのか、
f^(l)(x)=a^l l!/(n-l)!(ax+b)^(n-l) …(*)のように仮定できるのかが分かりません。
また、f(x)をn回微分するとa^n*n!となり、そこからn+1回目以降の微分は0といえる理由が分かりません。
すごく簡単なことを質問してしまっているのかもしれないのですが教えていただきたいです🙇‍♂️

冒昧

k=l+1回目でも微分できる必要がありますが、階乗は負の数では定義されないので(0!は1と定義されてます。つまり、n-(l+1)≧0⇔l≧n-1
となります。

また、a^n*n!は定数です。定数の微分は0なので(a^n*n!)'=0です。

ぴい

n-(l+1)≧0⇔l≧n-1はなぜn-(l+1)≧0⇔ l≦n-1とはならないのですか？

冒昧

あ！ごめんなさいl≦n-1です

ぴい

分かりました！
ありがとうございます！！