Question

ena

求解這題

4. 坐標平面上,給定兩定點 (-1,2)與B(3,0),設點P為直線L:x+2y=8上的動點,當點P
坐標為
時,∠APB 有最大值。

Answer 1

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我就是我

如圖

Answer 2

qn

如圖，我們知道
對於定點A,B和一個半徑不定的圓C
P在優弧AB上
當圓的半徑越小，∠APB就越大

反過來說，如果給定點A,B和動點P
作出過這3點的圓
如果半徑越小，∠APB就越大
而半徑最小發生在：這個圓和直線相切的時候

也就是說，只要找出：過點A和點B又和L相切的圓
這時的切點就是答案了！

計算 (作法僅供參考)：
找出A,B的中垂線：2x-y-1=0
設圓心座標(1+t,1+2t)
方程式：(x-t-1)²+(y-2t-1)²=r²
代入A點座標得到 r²=5t²+5
而圓心到L的距離平方=(t-1)²/5=r²=5(t²+1)
得到 t=0 ⇒ 圓心為 (1,1) ⇒ P(2,3)