Question

あや

演習β 第5回
解答の矢印から下が、何をしているのか、どういうことなのか分からないので教えてください。

の範囲
+2
(X)
X
X)
X
4 [2006 新潟大]
a を実数とする。 x に関する方程式logs(x-1)=10g) (4x-a-3) が異なる2つの実数解
をもつとき, aのとりうる値の範囲を求めよ。
解答
真数は正であるから
すなわち
このとき 10g(x-1)=logg (4x-a-3)
logg(x-1)=-
x-1> 0 かつ 4x-a-3> 0
a +3
4
x>1
10g(x-a-3) 底の変換公式
log
log39
10g39=10033²=2
_210gg (x-1)=10gs (4x-a-3)
lloga Mr
Ariogum logs(x-1)=log3 (4x-a-3)
の変科を同じ(x-1)2=4x-a-3
x2-6x+a+4=0
ƒ(1) >0
したがって a>1
[2] 1<a<5のと
a +3
①よりx>
かつ
の判別式をDとすると
が異なる2つの実数解をもつための条件は
D
-=-a+5>0
f(x)=x2-6x+a+4=(x-3)2+α-5とおく。
[1] a≦1のとき
① よりx>1であるから,この範囲で②が異なる2つの実数解をもつための条件は
よって a-1>0
よって
x>.
16
1/28(-3)-(a+4)=a+5
る2つの実数解をもつための条件は
+3
f(a+³) >
よって a<5
これは a≦1に適さない。
であるから、この範囲で②が異な
-(a−1)² > 0
したがって
1 以外のすべての実数
いま, 1<a<5のときを考えているから 1<a<5
[1], [2] から 求める α の値の範囲は 1<a<5
0 ↑
a +3
4
y=f(x)/
X

対数関数

Answer 1

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アライグマ

矢印の前までで、a<5⇔(x-1)^2=4x-a-3が異なる２つの実数解を持つ、ということが示せました。しかしそこからすぐに元の方程式が異なる２つの実数解を持つとは限りません。というのは、②の異なる実数解は①の条件を満たすとは限らないからです。もし、①の条件を満たしていなければ、(x-1)と4x-3a-3のどちらかは0以下となるので、対数の真数は0より大きい事に反し、元の方程式の実数解にはなりません。そこで、求めるのは②が異なる実数解を持ち、かつ①を満たすようなaの範囲になります。なので、矢印以下では、a<5という条件の下で①をみたすのがaがどのような値の時なのかを調べています。それを調べるにあたって、①に現れる1と(a+3)/4の大小関係がa=1で入れ替わるので、そこで場合を分けています。

あや

理解出来ました！ありがとうございます！