Question

𝒞ℴ𝒸ℴ𝒶

この2問の解き方を教えてくださる人いませんか。よろしくお願いします💦

154点P(x, x2) は, 放物線 y=x2 上の点で, 2点A(-1, 1),B(4,16) の間に
ある。このとき, △APBの面積の最大値を求めよ。
*155 ∠C=90°,CA=9, AB=6√3 の△ABCがある。 点Pは頂点CからAまで,
辺 CA上を毎秒3の速さで進む。点QはPと同時に頂点Bを出発し, 頂点C
まで辺BC上を毎秒3の速さで進む。 このとき, P, Q間の距離の最小値
を求めよ。

Answer 1

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きらうる

複数の解き方がありますので、どれを使って説明したらいいかわかりませんが、点と直線の距離の単元をやっている？ような気がしますので、それで説明します。違ってたら別の方法で説明します。

154
△APBの面積が最大になるためには、ABが固定されているので、ABを底辺として、ABとPの距離が高さになるから、直線ABとPの距離が最大になる点がPになる。
直線APは、y＝3x+4　とおけるので、
3x-y+4=0と、P(x,x²)との距離は
距離＝|3x-x²+4|/√(9+1)
　＝|-x²+3x+4|/√10
f(x)＝|-x²+3x+4|とすると、
　＝|-(x-3/2)²+25/4|
-1≦x≦4より、f(x)が最大になるのはx＝3/2のとき。
よって、f(3/2)＝25/4が最大になるので、
直線ABとPとの距離の最大は
(25/4)/√10＝25/4√10

ABの長さ＝√{(4+1)²+(16-1)²}＝5√10
より、
△APB＝1/2×5√10×25/4√10
　＝125/8

きらうる

二次関数の範囲になるのか……な…
二次関数として求めます。

点Pを通り、y軸に平行な直線を引き、ABとの交点をQとすると、
△APBは△APQと△BPQに分けられる。
直線ABは、y=3x+4より、
Qの座標(x､3x+4)と置ける。
△APQや△BPQの底辺は、両方ともPQとすると、
高さはx座標の差であることがわかる。

PQ＝3x+4-x²　で、
△APQの高さ＝x-(-1)
△BPQの高さ＝4-x　から、
△APB＝△APQ+△BPQ
＝1/2×(x+1)(3x+4-x²)+1/2×(4-x)(3x+4-x²)
＝1/2×(3x+4-x²)(x+1+4-x)
＝5/2×(3x+4-x²)
＝-5/2×(x²-3x-4)
平方完成して
＝-5/2×{(x-3/2)²-25/4}

よって、x＝3/2のとき、
最大値＝-5/2×-25/4＝125/8