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とりあえずa²を4k＋1とか4kとおくのは良い心がけですが、そこからaが自然数であることを導くのは難しいですね。
すると、その逆を考えて、aの条件からa²の条件を考えると良いでしょう
1 16k²を4(4k)としたのは、4の倍数であることを示すためです。4(○○)の、○○がなんであれ、この塊は4の倍数となるからですね。
2 (他の方も別解として答えられていますが、今回お答えしたのはあくまで一つの解き方です。)
aは自然数ですので、4の倍数で考えると、(証明したいのが4で割ったあまりについて考えていたのですが4にしました。)全ての自然数を表すのは4k、4k＋1、4k＋2、4k＋3の4種類です。(言い換えると、どんな整数を4で割っても余りは0か1か2か3のいずれかということです。)
別解として他の方が答えられているのはaを2乗していることを見越して、2kと2k＋1とおけば、aの2乗により4kと4k²+4k+1にうまく調整できて4で割ると0と1になると考えることもできます。この場合、全ての自然数は2kと2k＋1で分けられるから、aはこの2つで表すことができるのです。
例えば、証明したいのが6の倍数であることを示せ。だったら、aは6k、6k＋1、6k＋2、6k＋3、6k＋4、6k＋5と置くことになります。aは必ず全ての自然数にならなくてはいけないからですね。
3 modはやらなくてもいい範囲になっていたと思います。また、modはこの上記のやり方に比べてムラが出てしまう部分もあるので、時短テクニックぐらいに認識してください。
modというのは、例えば9を4で割った余りを表現したい時に 9≡1(mod4) と表現します。9で割った余りは1と合同(≡)ですよ。ということを式で表しているのですね。
modに関しては計算法則がやや複雑であるので(特に掛け算、足し算は普通なのですが、割り算にはあまり向かないです。)一回調べてみるといいですね。もし、modをマスターできれば大抵の問題がスムースに解けてしまいますよ。
よくみると、1番目の質問は普通に書き間違えたんだと思います。
すみません。
ありがとうございます。理解することができました。
また、modをテクニックの一つとして使えるように詳しく調べてみようと思います。
3つほど質問させていただきます。
多くてすいません💦