Mathematics
มัธยมปลาย
537(1)解説の[2]について質問です。「3行目よりf(x)は単調に減少する」とありますが、なぜそうようになるのか教えてください。
*573 a>0とする。 関数 f(x)=x-27a²x (0≦x≦3) について
(1) 最小値を求めよ。
(2) 最大値を求めよ。
について
572 右の図のように点を
とる。ただし,0は球
の中心である。
OH = x とおくと
0<x<5
三平方の定理から
AH=√52-x2
=√25-x 2
直円柱の体積をVとすると
V=²AH2x2OH
dv
dx
= (25-x2).2x
=-2(x3-25x)
よって
dV
dx
0<x<5におけるVの増減表は,次のようにな
る。
-=0 とすると 0x=±
x 0
V
dV
dx
-=-27(3x²-25)
最大体積は
高さは 2OH=
x
AH= 25-
+
f'(x)
f(x)
よって
A
f'(x)=0 とすると
また
5√ √3
3
0
20
500/3
9
573 f'(x)=3x2-2742
0
よって, V は x=- で最大となる。
5√3
3
このとき, 直円柱について, 底面の半径は
10√3
3
500/3
9
5√3
3
-π
-T
=3(x+3a)(x-3a)
- (5√3)-5√6
-
オ
x=±3a
f(0) = 0, f(3)=27-8142
f(3a) = -54a³
(1) [1] 0343 すなわち0<a<1のとき
0≦x≦3におけるf(x) の増減表は、次のよう
になる。
3a
0
-54a³
R
H
5
..*
+
相談
x=3αで最小値-543
3
27-81a²
[2] 3 ≦ 3a すなわち 1≦a のとき
0≦x≦3において,
f'(x)=3(x+3a)(x-34)≦0
であるから、f(x) は単調に減少する。
よって
x=3で最小値 27-81²
(2) x≧0 におけるf(x) の増減表は、次のように
なる。
[1] 0<a<-
x 0
[2] a=
[3]
f'(x)
+
f(x) 0-54a³ 1
よって, 0≦x≦3において, 最大値は f(0) また
はf (3) である。
f(0)-f(3)=0-(27-81a²)
よって
√√3
x=3 で最大値 27-8142
のときf(0)=f(3)
x=0, 3 で最大値 0
<a のとき f (0) > f(3)
よって
x=0 で最大値 0
574 指針 グラフをかいて考える。
f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)
f'(x)=0 とすると
x=0,2
x≧0 におけるf(x) の増減表は、次のようにな
る。
1
√√3
よって
1
Ⅱ 解答編
x
=81(a²-3)
1
1
= 81(a + √(ª3)
√√3
0
f'(x) 0
f(x)
1
のときf(0) <f(3)
3a
0
[2] 2≦aのとき
-
x≧0 における
y=f(x) のグラフは,
右の図の実線部分の
ようになる。
(1) [1] 0<a<2のとき
x = α で最小値
a³-3a²+1
x=2で最小値-3
2
0 +
-3 1
...
-187
1
V
O
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