Question

りんこ

解析の極限です。
答えあります。
大問3番の1番が、答えがそうなるのが分かりません。
曲線x=y^2に沿って原点に近づけるとはどういうことでしょうか。
お願い致しますm(_ _)m

[第3問] 次式にて与えられる R2 にて定義された関数f(x,y) について,以下の問いに答えよ。
my2
((x,y) (00) のとき)
将
x2+y4
0
((x,y)=(0.0)のとき)
(31) 点 (x,y) を曲線x=y2 に沿って原点に近づけた際の極限
f(x, y) =
lim
(x,y)-(0,0)
x=y
んがわ求め上
f(x,y)を求めよ .

〔第3問]
(31)y=mとおくと lim
1x²(+ m²)
大30
よって曲線
に沿って近づけるとm=1となり、極限は1/2となる
m
= lim + A
m
x→0

解析

Answer 1

豌豆

「曲線ｘ＝ｙ^２に沿って原点に近づく」とは図のようなことです。
黄色い線がｘ＝ｙ^２です。
少し見づらいかもしれませんが、どの方向から原点に近づくかによって極限が異なることが分かると思います。
ｘ＝ｙ^２に沿うと極限＝１／２ですが、ｘ軸に沿うと極限＝０です。

これは与えられたｚ＝ｆ(ｘ,ｙ)が原点で連続でないからです。
(逆にいえば、連続であればどの方向から原点に近づいても極限値は同じでｆ(０,０)になります！)

極限を求めるのにりんこさんの解答ではｍを持ち出してますが(原点での連続性を求めるときの方法？)、その必要はなくて、
ｚ＝f(ｘ,ｙ)にｘ＝ｙ^２(もしくはｙ＝±√ｘでもＯＫ)を代入して、ｚ＝ｆ(ｙ^２,ｙ)＝ｙ^４／(２・ｙ^４)→１／２とやれば答えが出ます！