Question

る

解き方が分かりません

よろしくお願いします。

第3問 次の文章中の22
ただし,重複して使用してもよい。
~28 に適する数字を,下の選択肢 ① ~ ⑩ のうちからそれぞれ一つ選べ。
解答番号 22~28
f(x)=x2+(a-5)x + b とする。 ただし, a, b は定数である。
放物線C:y=x2+(a-5)x+bは,直線x=2を軸にもつ。
22 [28の選択肢 ]
1
6 6
S-A
(1) α = 22 である。
(2) b=-5のとき, Cがx軸から切り取る線分の長さは23 である。
(3) Cx軸と2つの異なる共有点をもつようなb の値の範囲は,b< 24 である。
(4)Cの頂点が直線y=2x 上にあるとき, b = 25 である。このとき, f(x) = 10 を満たすx
の値は,x=126 土 27 である。
(5) b=2021 とする。 f(x) の 0≦x≦p における最大値と最小値の差が9となるような正の定
数pの値は28である。
(2) 2
77
0418
(3) 3
⑧8 8
(4)
(9) 9

Answer 1

Rose

(1)a－5を一旦cにします。
関数の式は、y=x²+cx+b。
平方完成すると、
y=(x+1/2c)²+b－1/4c²
戻して
y=(x+1/2a－5/2)²+b－1/4(a－5)²
軸はx=2だから、
1/2a－5/2が－2になったら良い。
だからa=1
(2)b=－5でa=1だから、
y=x²－4x－5
x軸から切り取る線分というのは、この関数とy=0との交点2つのx座標の差(の絶対値)です。
ということでまずこの関数とy=0との交点を求める。
0=x²－4x－5だから、
x=5、－1
その差は6だから、x軸から切り取る線分の長さは6。
(3)
x軸は、y=0という関数です。
そして、これとの共有点が2つだから、
0=x²－4x+bの二次方程式の解が2つのとき、
つまり、判別式が0より大きくなるときです。
この関数の判別式をDとすると、
D=(－4)²－4×1×b
=16－4b
これが0より大きいから、
16－4b>0 bについて解くと、b<4です。
(4)まず、y=x²－4x+bの頂点を求めます。
平方完成します。
y=(x－2)²+b－4となります。
よって、頂点は(2,b－4)
頂点はy=2xの直線上にあるから、この座標をこいつに代入すると、
b－4=4
b=8です。
だからこの時の関数の式はy=x²－4x+8です。
そして、f(x)=10となるx。
f(x)=10というのはyの値が10であるの意だから、
10=x²－4x+8
0=x²－4x－2。 この二次方程式を解くと、
x=2±√6が得られます。
(5)b=2021だから、関数の式は、
y=x²－4x+2021そして、この関数は変域(0≦x≦p)を持ちます。
最大値と最小値を求める前に、この関数の頂点を求めてしまいましょう。
平方完成するから、
y=(x－2)²+2017です。
だから、頂点=(2,2017)です。
ここから場合分けをして最大値、最小値を求めていきます。
パターン1 変域内に頂点が含まれる時、
0≦x≦pに2が入れば良いから、
p≧2の時です。
この時の最小値は頂点、つまりx=2で2017。
最大値はここから更に場合分けして求めます。
パターン1－① 最大値が重解となる時、
前提としてこの関数の軸はx=2です。
最大値が重解をとるには軸から変域の最小との距離と、軸から変域の最大との距離が一致した時なので、
p=4の時です。(ここでp=4は p≧2 を満たすのでOK)
最大値はx=0.pの時、x=0を代入。
y=2021です。よって、最大値と最小値の差は2021－2017=4 違います。
パターン1－②x=0で最大値をとる時、
x=0で最大値をとるなら、y=2021だからさっきと同じになります。なのでここは省略します。
パターン1－③x=pで最大値をとる時、
この時のpは、p>4。p≧2とでp>4。
x=pを代入。
y=p²－4p+2021
つまり、x=pで最大値p²－4p+2021をとる。
これと最小値である2017差が9だから、
p²－4p+2021－2017=9
p²－4p－5=0
p=5,－1 。p>4だから、p=5
(解答欄が1つなのでこれで終わりますが、一応、頂点が変域に含まれない場合をするべきです。)