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参考です
√{180－12n}＝√{2²×3×(15－n)}
＝2√{3(15－n)}
●既に整数である 2 を除き
{3(15－n)}について考えると
15－n は
( )の前の3 を根号から出すための 3と
別に根号から出る為の平方数を因数として含む為
(整数aを用いた平方数をa²として)
15－n＝3a²と表わすことができる
●15－n＝3a² を用いて、nを考えると
n＝15－3a²
n＝3(5－a²)
nが自然数なので、a＝{0，1，2}
a＝0のとき、n＝15
a＝1のとき、n＝12
a＝2のとき、n＝3
●簡易確認
n＝15のとき、√{3(15－n)}＝√{ 0}＝0
n＝12のとき、√{3(15－n)}＝√{ 9}＝3
n＝ 3のとき、√{3(15－n)}＝√{36}＝6
●答え、
n＝15，12，3 {このとき、整数(0，6，12)となる}
補足
説明をかきましたが、試験などのときは、以下のようにして見当をつけ解いてしまった方が速いかもしれません
例 途中、2√{45－3n}とした後
√45＝6.･･･なので、√{45－3n}＝6，5，4，3，2，1 としてnを求めてしまう
わかりました！！！
詳しく解説までありがとうございます！😿
補足の最後の行、0が抜けました。すみません訂正します
誤：√45＝6.･･･なので、√{45－3n}＝6，5，4，3，2，1 としてnを求めてしまう
正：√45＝6.･･･なので、√{45－3n}＝6，5，4，3，2，1，0 としてnを求めてしまう