Question

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

これってどんな式変形したんですか

41 [A] 次の定積分を求めよ.
(1) √₁² x ² = 2 x + 2dx
x-1
(2) √²√1+2√x dx
[B] (1) 関数y=√4-x2のグラフの概形を描け.
(2) 定積分 4-xdx を求めよ.
3
[C] 定積分∫ (x (1-x)}dx を求めよ.
L'xf (sinx)dx "C" f(six)dx
TC
2
=
(2) α>1とする. (1)を用いて,積分 * x(d2-4
(弘前大)
[D](1) f(x) を区間 0≦x≦1 で定義された連続関数とする.次の等式が成り立
つことを示せ.
x(a²-4 cos²x) sin x
第5章 積分法
a² - cos²x
(宮崎大)
( 横浜国立大 )
( 奈良教育大 )
-dx を求めよ.
(埼玉大)
積分法

7
[D](1) x="-t とおくと
対応は表のようになるから
(2)
fxf(sin x)dx= f(x-t)f(sin t)(-1)dt
したがって
2 f*xf(sin x)dx=zff(sinx)dx
:. *xf(sinx)dx=f(sinx)dx
dx=-dt, sinx=sin(n-t)=sin t
be
x(a²-4 cos²x) sinx_x{a²-4(1-sin²x)}sinx
a² - cos²x
a²-(1-sin²x)
TC
ƒ(x) = (a²−4+4x²)x
a²-1+x²
与えられた定積分IはI= "xf (sinx)dx である。
そこで, (1) を用いて計算すると
= f* (x−t)ƒ(sint)dt [ ^ƒ(1)dx=F(A) - F(a) = − (F(a)- F14A))- |*^ 30x3) de
= f* f (sin t)dt- f" tf(sint)dt = ["fficine) - + scrines) de
=* *ƒ(sin_x)dx — ["*xƒ(sinx)dx _ [*
=
1=["xf(sinx)dx=ff(sin x)dx
10 64
-1a²-4u²
a²-u²
TL
T
3
とおくと,α>1だから, f(x) は 0≦x≦1 で連続であり,
-(-1)du
3a 1
('{₁+ ³a (u ² au + a)}du
2\u-a
3
2 128 T
(a²-4 cos²x) sinx dx
a²-cos²x
ここで, COSx=u とおくと - sinxdx = du であり、対応は
表のようになるから
1=1/√²²
4u²-a²
-du
x 0-1
t 14 0
?
x 0
U
T
1→-1
127
積分法

Answer 1

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定積分の中にある変数は、何であろうが値は変わらないので、文字は置き換えられるのです。

例えば、
∫₀¹ 2xdx ＝ [x²]₀¹ ＝ 1、
∫₀¹ 2tdx ＝ [t²]₀¹ ＝ 1。
となり、値は等しくなることが分かると思います。

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

なるほど！具体的に考えるとわかりやすいですね。納得が行きました。ありがとうございます