Question

大学1年生

⑵の質問です。
解説4から5行目でインテグラルを付けても方程式が成り立つのは何故ですか？

388
ROKUREY
重要 例題 232 置換積分法を利用した定積分の等式の証明 (1) ①① ①00
f(x) は連続な関数, α は正の定数とする。
(1) 等式Sof(x)dx=Sof(a-x)dx を証明せよ。
ca
ex
(2)(1)の等式を利用して,定積分 Sox fea-xdx を求めよ。
201
(2) f(x)=-
ex
とすると, f(a-x)=
ex-
tea-x
ea-x
ea-x tex
このことと (1) の等式を利用して方程式を作る。
解答
(1) a-x=t とおくと x=a-t
ゆえに
dx=-dt
xとtの対応は右のようになる。
よって
指針 (1) a-x=t とおくと, 置換積分法により証明できる。 なお, 定積分の値は積分変数の
文字に無関係である。すなわち Sof(x)dx = Sof(t)dt に注意。
は、逆
(2) I=S
ca ex
Jo ex +eª-x²
また
ゆえに
f(x)+f(a-x)=1
よって Sof(x)dx + Sof(a-x)dx=Sodx
ゆえに
I+I=a
したがって
1
(右辺)=Sof(a-x)dx=Sof(t)(-dt) = Sof(t)dt
を考えSof(x)dx=(左)&hlol-43)
dx とし, f(x)=-
ex
とする。 (1) の
ex tea-x
等式 Sof(x)dx=Sof(a-x)dx から I=Sof(a-x)dx
f(x)+f(a-x)=x-x+poster
x
借りて、求めにくいf(x)=-
t
e ess
a-x
0 → a
a → 0
であり
+ 1)²0 (-
a
I=
1=002
+
(²013) (1)
基本 228
f(x)+f(a-x)=1
UFC (CTEN
pie-
重要 233.
AGERE
S'f(x)dx
>= f(x) dx
定積分の値は積分変数の
文字に無関係。
(nie)
① (1), (2) の問題
結果の利用
15:51)
検討ペアを考えて利用する
(2) の解答では,(1) で示した等式S。f(x)dx=S。f(a-x)dxと関係式f(x)+f(a-x)=1の力を
ex tea-x
extea-x=1
<Sidx は fax と書く。
◄ S₁dx=[x]" = a
の定積分を求めた。 このように, f(x) だけでは扱いにく
ex tea-x
くても、f(x) f(a-x) のペアを作ると扱いやすくなる場合があることを覚えておくとよい。

Answer 1

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きちんと説明すると、こんな感じです。

大学1年生

確かにインテグラルの中が同じになりますね！
ありがとうございます！

Answer 2

HIROBA〜

もとの式が等しければ
積分したものも等しくなる
という性質ですね。
直感でわかるのであまり強調しませんけど
そういうことです。

大学1年生

そういう性質があるんですね！
そういうもんって割り切って考えることにします！
ありがとうございます！