Question

Hi（受験生）

１番です、重心の座標をおいて求めているのですが、
問題を解くとき、重心を用いることを想像できなかったのですが、解きやすい解法などありますか？

基礎問
258 第8章 ベクトル
166 空間ベクトルにおける幾何の活用
座標空間内で,原点O, A(2, 0, 0), B(b1, 62, 0), C(c1, Cz, ca)
を頂点とする正四面体を考える. ただし, 620,C3>0とする。
(1) 61, bz, C, Cz, C3 を求めよ.
(2) OABC を示せ .
(3) Pは直線BC上の点で, OP IBC をみたしている.Pの座
標を求めよ.
精講
(1) 5 変数ですから式を5つ作ればよいのですが, 5文字の連立方
程式は厳しいことが予想できます。
そこで,正四面体という特殊性を利用して行けるところまで幾何
で押します.
(2) OA・BC=0 を示します. (150)
(3) 正四面体の側面はすべて正三角形だから, Pは辺BCの中点になっていま
す。
解答
(1) 辺OA の中点をMとすると, △OAB は正三
角形だから, BM LOA
OM=1 より, b=1
BM=√3,62>0 より, b2=√3
次に、△OAB の重心をGとおくと、
√3
G(1. 3,0)
四面体OABC は正四面体だから, CG⊥平面OAB
√√3
YA
∴.C=b=1, C2 = GM=
また, 三平方の定理と C3 >0 より
C3=CG=√CM²-MG²=√BM²-MG2
-√3-(1/3) -√3-2√6
b2
B
G
bin
M
2

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

沢木陽織

これは重心を使わないと厳しいと思います。
それ以外だとOABそれぞれとの距離が2という連立方程式をたてるくらいしか思いつきませんが、とんでもない計算量になるのは避けられないような気がします。
イメージとしては、OABがxy平面上にあってOABCが正四面体なのだから、xy平面を真上から見下ろしたらCが△OABのど真ん中=重心にいるだろうという感じです。
重心は座標やベクトルで表しやすいというメリットもあるので、正四面体に関する知識として覚えてしまった方がよいと思います。

Hi（受験生）

"イメージとしては、OABがxy平面上にあってOABCが正四面体なのだから、xy平面を真上から見下ろしたらCが△OABのど真ん中=重心にいるだろうという感じです。"
これは知識として押さえておいた方がいいですか？

沢木陽織

正直、頻出と言うほどこの知識を使うイメージはないのですが(私自身演習をたくさん積んでいる訳では無いので分かりませんが)、1度京大の過去問でこの知識を使う問題を見たことがあります。
なので、一応頭の片隅に入れておくといいんじゃないかなぁと思います。