Question

mask_rin

「同値である」という用語に関する質問です。

例えば、(1)から(4)は同値である時、
(1)⇒(2)が成り立つ。
(2)⇒(3)が成り立つ。
(3)⇒(4)が成り立つ。
(4)⇒(1)が成り立つ。
以上より、(1)～(4)は同値である。

この時、(1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(1)⇒…
のように循環論法なので証明になっていないと考えられます。

同値であるという時、このように
必要十分条件であることを確認しなくて良いのでしょうか？

Answer 1

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Crystal Clear

(1)⇒(2)
(2)⇒(3)
(3)⇒(4)
(4)⇒(1)
の4つが成り立つとき、
一番上から、(1)⇒(2)
また、下3つを連結させて(2)⇒(1)
よって(1)⇔(2)
他も同様です

mask_rin

【(3),(4)を経由】して(1)⇒(2)を
証明していることを理解することができました。

理解度を深めるために
循環論法の具体例も教えていただけないでしょうか？

Crystal Clear

(1)⇒(2)
(2)⇒(3)
(3)⇒(4)
(4)⇒(1)
からは
(1)⇔(2)⇔(3)⇔(4)
が示されるだけで、(1)が示されるわけではありません。
4つの命題が同値、つまり真偽の一致が示されただけで、(1)が真であることは示せません。

Crystal Clear

例えば
x^2=1⇔x=1orx=-1
はxが1のとき両者が真になり、x=2のときは両者が偽になります。

mask_rin

「同値である」と「循環論法」の2つの違いを
自分自身が分かっていません。

「同値である」はあくまで真偽が一致している
ということについては理解できました。

Crystal Clear

A⇒B
B⇒A
の二つの真の命題を用いて
命題Aが真であることを示すような誤った論法を循環論法というのだと思います。
しかし、上述の通り、
A⇔B
という同値命題(もしくはA⇔Aの自明な命題トートロジー)が真であることが示されただけで命題Aが真であることは示せていません。

mask_rin

つまり同値であるというのは、
真偽の一致だけに注目していて、
循環論法になっていても関係ないということでしょうか？

mask_rin

集合論の二項関係の推移律について
理解できていなかったために、
循環論法という間違えた考えをしていたことに気づきました。

従って、最初の解答の意味を理解することができました。
丁寧に回答して頂きありがとうございました。