この問題でのneedは助動詞なので、can do →can't doのようにneed do→needn't doのような解答になります。
ちなみに、needを一般動詞として使うなら｢don't need to do the laundry｣ですね。
あと、the laundryは名詞であってます。
問題文に｢need not｣と書いています。一般動詞の否定形は don't +（動詞）という形なので一般動詞の後にnotがくることはないです。よってneedはcanやwillと同じ助動詞として使うことになります。
また、｢一般動詞のneedではなぜdon'tがいるのか｣についてですが、先程述べたように一般動詞の否定形はdon't needのようにdon'tのあとに動詞がきます。肯定文ならdon'tは不要です。
回答ありがとうございます🙇♂️
すごい分かりやすかったです。
同じような問題を見つけたのですが、
4番の問題で使うneedは助動詞と一般動詞のどちらの場合も取れるとおもったのですが、助動詞の場合の答えしか載っていませんでした。
一般動詞の場合の答え（didn’t need to lie）が答えに載っていなかったのですが何故ですか。何度も質問すみません🙇♂️
すみません🙇♂️
問題番号と写真間違えたものを添付していました。
この場合はなぜ助動詞を使うのでしょうか。
また、一般動詞でneedを使う際はなぜdon’t を使うのでしょうか。よろしければ回答お願いしたいです🙇♀️