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楕円テータ関数の原点における値に関する質問

社会人で、たまに趣味で数学の勉強をしている者です。

岩波 数学公式 Ⅲの付録1の(ⅷ)テータ函数の数表において、k^2 = 0.50の時にθ3"(0)/θ3(0) = -3.1416と記されています。この右辺は、-πではないかと思うのですが、証明が思いつきません。k^2 = 1/2の時にθ3"(0)/θ3(0) = -πとなることの証明をご存じの方、または証明できる方がいらっしゃいましたら、証明方法を教えて頂けませんでしょうか。よろしくお願いします。

岩波 数学公式 Ⅲ（岩波書店）は2008年12月5日 第22刷発行の書籍を見ております。
書籍では上記のθ3"(0)とθ3(0)の3は下付きの3、(0)は上付きの0になっております。

参考に、同書籍の第２章から楕円テータ函数に関する説明をまとめておきます。
θ3(v) = Σ[n=-∞,∞][q^(n^2) z^(2n)] = 1 + 2Σ[n=1,∞][e^(τ π i n^2) cos(2n π v)]
z = e^(v π i)
q = e^(τ π i)
θ3"(v)はθ3(v)をvで２階偏微分したもの。
θ3(0)はθ3(v)にv=0を代入したもの。
θ3"(0)はθ3"(v)にv=0を代入したもの。
θ2(0) = 2Σ[n=1,∞][q^((n-1/2)^2)]
θ3(0) = 1 + 2Σ[n=1,∞][q^(n^2)]
k = (θ2(0)/θ3(0))^2

264
付
録
(xiii) テータ函数 1° 原点における値(注1)
2
90
0.00
0
0
1
1
-9.8696 -9.8696
0
0
0.05 |1.49500.4759 1.0064 0.9936 | -9.8672 -9.8704 -0.2515 0.2547
0.10 ||1.7896 0.5698 1.0132 0.9868 |-9.8593 -9.8730 -0.5131 0.5268
0.15 | 1.99400.6350 1.0203 0.9797 |-9.8452 -9.8778 -0.7859 0.8185
0.20 || 2.1578 0.6874 1.0279 0.9721 |-9.8235 -9.8849 -1.0710 1.1324
2.2983 0.7325 1.0359 0.9641|-9.7930 -9.8951 -1.3698 1.4719
0.30 ||2.4238 0.7731 1.0446 0.9554 || -9.7519 -9.9088 -1.6840 1.8409
0.35 || 2.53900.8105 1.0538 0.9462 -9.6979 -9.9267 -2.0155 2.2443
0.40 || 2.6469 0.8460 1.0638 0.9362||-9.6281 -9.9498 -2.3668 2.6885
0.45 | 2.7497 0.8801 1.0746 0.9254||-9.5388 -9.9793 -2.7409 3.1814
0.25
*0.50 | 2.8487 0.9136 1.0864 0.9136 || -9.4248 -10.0168 -3.1416 3.7336
M

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