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サルでもわかる楕円関数(ヤコムの楕円関数)
これから楕円積分の逆関数を考えることで、楕円関数を導入する。
4・1 ヤコビの楕円関数
前回では、単振り子の運動が第一種不完全楕円積分F(Re)を使って、
(4.1)
(9)=F(sm289)) = {
e(9)
do
1-1251420
で表されることを示した。
ここでは、才は時刻、〆は最大の振れ角,b=sin÷で、振り子の振れ角は
変数日とsmo = tsmmという関係で結ばれている。
この表示は、時間大を振れ角で表していて、周期を計算するには便利だが,
「運動を表す」という意味ではやや不自然と言える。
もっと自然な表示は「振れ角g=時間の関数」という形だろう。つまり、上の表示
の「逆関数を考える」ということである。
そこで,いったん振り子の話から離れて、第一種不完全楕円積分の逆関数を一般的
に考える。以下では楕円積分のモジュラスは0f1を満たすとする。
また、後の話の都合上、楕円積分はZ=singで変数変換して、次のように
Sinを使わない代数的な形で考える方が便利である。
Sn(u) = Sn(uk) とは第一種不完全楕円積分
定義4-1 ヤコビの楕円関数
(4.2)
u(x)=U(x)=
x
dz
√(1-2)(1-2)
x<x∈ [11])の関数と考えたときの逆関数である。
(4.3) SR (u(x), k) = x, K(SR(uik), k) = K

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(()の被積分関数
はZが区間(-11)にある限り常に
√(1-2) (1-²²)
正でZの偶関数なので、積分((x)はxについて連続な単調連続関数でかつ
奇数。さらに、u(1)=K(k) (第一種完全楕円積分), u(1)=-K(k)
である。(図4-1参照)
したがってU(c)の逆関数 Sn(u)は-k(k)=uK(k)の範囲で定義された
連続で単調な奇関数で、
K(A) Iμ
図4・1
-K(R)
久
11-231-222)
第一種不完全分 W()
とその複績分数
(=0.8)
(4·4) sn (0) = 0 Sn (土K(k))=±1
,
である。(図4･2)これは、もちろん、図4-1の左の図を u=xという斜め45°の直線
Snu
に関して反転したものになっている)。
17
11-
K
注4・2(収束に関する注意)
本書で最初に第一種完全楕円積分
K(k)が出てきたのはレムニスケートの弧長
としてだった。「長」があるのは「見れば
分かる。話なので、敢えて強調しなかったが、
この積分
dz
K(R)=
√(1-22) (1-R272)
図4-2 [-K(R),K(k)] 上の関数 Sn(u)
S'
(k=K(k),k=0.8)
の被積分関数
が積分区間の端Z=1で発散しているから」
√√(1-22)(1-1222)
完全楕円積分は広義積分であり、収束することをチェックしておかなければならない。

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