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低気圧が地点を接近すれば天気は曇りから雨になります。細かく見る場合、低気圧の発達の仕方と、雲域の変化を考慮する必要があります。
前線と雲域の関係は1枚目の図に示した模式図の様になります。寒冷前線付近は低気圧の南側に位置し、強い雨の領域は前線に沿って現れる事が多いです。低気圧の暖域も低気圧の南側に当たりますが、ここは暖かく湿った空気が入り込んでくる領域の為、雨雲が発生しやすく、曇りから雨の天気になると考えられます。低気圧の北側に当たる温暖前線の北側にかけては、雲域が横方向に大きく広がりやすく、寒冷前線付近ほど強い雨になる事は少ないですが、雨の期間が長く続きやすい事が多いです。
実際の天気の例を2枚目の図に載せました。2022年3月18日9時に九州の西海上に発達中の低気圧があり、低気圧の南側に当たる鹿児島市では低気圧の暖域に位置していた為、南側の暖かく湿った空気の影響で気温が高く、低気圧の北側に当たる下関市では、大陸からの寒気の影響で鹿児島と比べて気温が低かった事が示されています。寒冷前線が鹿児島市を通過したのはだいたい12時頃でしたが、それ以降は曇りとなり、気温は次第に下がりました。一方、下関市では低気圧の北側に位置し、温暖前線以北の雲域が広がりながら低気圧が東進したので、鹿児島市に比べると雨の期間が長いという結果になったと考えられます。
ご丁寧にありがとございました！
補足。
2枚目の実例を加筆修正しました。