Question

ぬぬ🦖 ⋆͛

至急！(1)の1-Pnは何故こうなるのですか？
また(2)のその試行で8のカードを取り出す確率であるからという所と最後の変形の仕方を教えてください。

233 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8の数字が書かれた8枚のカードの中から, 無作為
に1枚取り出してもとに戻すという試行をn回行う。 このとき, 数字8の
カードが奇数回出る確率を pnとする。
(1) Pn+1 をpnを用いて表せ。
(2) pn を求めよ。
eの相則で移動する点Pがある。
* 必1

233 (1)(n+1)回の試行で8のカードが奇数同
出るのは, 次の[1], [2] のどちらかの場合である。
[1] 回目の試行終了時に, 8のカードが奇数
出ていて,(n+1)回目の試行で8のカード系
出ない
「2] n回目の試行終了時に, 8のカードが偶数回
出ていて,(n+1)回目の試行で8のカードが
出る
7
[1]の確率は
8
11
[2]の確率は(1-Da。
8
[1], [2] は互いに排反であるから
7
Dォ+1=Dかg+(1-カの)。
1
8
3.1
Pn+1=D+。
すなわち

8
(2) 試行を1回行うとき, 8のカードが奇数回出る
確率は,、その試行で8のカードを取り出す確率
1
であるから
カ=。
3
1
Pn+1=Pn+を変形すると
4
8
1
Pn+1
2
3
P州
4
2
したがって, 数列Dnー。
2
3
の等比数
4
は公比
列で, 初須は カー=ラ=ー
1
1
1
3
2
8
2
8
1
Pn
373\n-1
ゆえに
2
8(4
1
対
n
よって
2

Answer 1

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rec

解答の通りですが…
n+1回目に8のカードが奇数回出るパターンは
(a)n回目までに8が奇数回出ていて、最後の1回(n+1回目)で8以外(つまり1~7)が出る場合

(b)n回目までに8が偶数回出ていて、最後の1回(n+1回目)で8が出る場合
の2パターンです。

(a)の場合
n回目までに8が奇数回出る確率は問題文よりPn
n+1回目に1~7を引く確率は7/8
よって、確率はPn × 7/8…①

(b)の場合
n回目までに8が偶数回出る確率は、結局、「全体の確率(1)」から「n回目までに8が奇数回出る確率」を引いたものとなります。
よって、1-Pn
また、n+1回目に8を引く確率は1/8
よって確率は(1-Pn) × 1/8

(2)の「試行を1回行うとき、8が奇数回出る確率」についてですが、試行1回のときは8が「出る(1回：奇数)」か、8が「出ない(0回：偶数)」のどちらかしかありません。
つまり、8が奇数回出るパターンは、8が「1回」出るパターンのみですので、
結局確率は1/8となります。

また、最後の式変形ですが、
Pn - 1/2 = - 3/8 ×(3/4)^(n-1)
Pn = 1/2 - 3/8 ×(3/4)^(n-1)
Pn = 1/2{1 - 3/4 ×(3/4)^(n-1)}
Pn = 1/2{1 - (3/4)^n}