Question

Ｙ

写真の問題の(1)の別解で素数の一意性に反することを利用して証明する方法があるそうなのですがどんなふうに証明するのか教えてください。

100
実数αが α=5 を満たすとき,次の問いに答えよ。
(1) αは有理数でないことを示せ。
(2) すべての有理数 p, q に対して,a2+pa+g≠0 であることを示せ。

Answer 1

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和

↓これのことを言っているのかなと思います

αが有理数と仮定すると
α=p/q (p,qは自然数)
とおけて、このときp³/q³=5

分母を払ってp³=5q³ ……☆

pが素因数5をm個(m=0,1,2,…)もつとしたら、
左辺p³は素因数5を3m個もちます
※3mは3で割り切れる整数

qが素因数5をn個(n=0,1,2,…)もつとしたら、
右辺5q³は素因数5を3n+1個もちます
※3n+1は3で割って1余る整数

左辺と右辺の素因数5の個数は等しいはずなのに、
3mと3n+1は一致することがないので、矛盾します

Ｙ

これです！ ありがとうございます

これって証明で素数の一意性よりって感じで使っても大丈夫なやつですか？

和

「素数が一意に」では意味がわかりません
素因数分解が、一意に決まるんです

上のように書けば、
特に「一意性」は明記しなくてもよいです

Ｙ

ありがとうございます