Mathematics
มัธยมปลาย
เคลียร์แล้ว
数3の平均値の利用についてです。
場合分けの【2】の赤線部分の記述の意味は分かるのですが、なぜ【1】で
「x→-0であるから、-1<x<0としてよい」
とは書かなくてもよいのでしょうか
に表して極限値を求める。 なお, 平均値の定理を適用する区間はx→-0とxー tn
F(x)=cos.x とすると, f(x) はすべての実数 x について微分可|平均値の定理が適用できす
指針> f(x)=cos.x と考えたとき, 分子は 差 「(x)-f(x*) の形になっている。よって、物
重要 例題173 平均値の定理を利用した極限
COS x-cos?
00000
を求めよ。
ち5
平均値の定理を利用して,極限値1lim
xーx?
X→0
体 11,11
ジの基本例題172同様,
差(6)-S(a)には 平均値の定理の利用
COS x-cos x?
0
を微分係数の形しr
の方針で進める。それには, 平均値の定理により,
xーx?
ときで異なるから注意が必要である。
解答
不の(
条件を述べている。
能であり
f(x)=-sinx
た
x<x°であるから, 区間 [x, x°] において, 平均値の定理を x<0<x
[1] x<0 のとき
用いると
ケ戸代増ケ 0< 0
COS x*
COS X
=-sin0,, x<日<x?
b-a
x-x
を満たす0.が存在する。
lim x=0, lim x?=0 であるから
a<cくb
lim 0.=0
x→-0
はさみうちの原理。
すだけ
x→-0
ズ→-0
COS x*-cOS X
lim
X→-0
lim(-sin0.)=-sin0=0
よって
x°-x
x→-0
文の
[2] x>0のとき,x→+0 であるから, 0<x<1としてよい。xー +0であるから、
このとき, x°<xでのるがり, 凶向 [X", x] において,平均
値の定理を用いると
x=0 の近くで考える。
ア
I> (6)-(a)=fd)
80-| a<cくb
COS x-COSx
=-sin 02, x<02<x
x-x
を満たす 2が存在する。
lim x°=0, lim x=0 であるから
b-a
lim O2=0
はさみうちの原理。
x→+0
x→+0
x→+0
よって
COS x-Cosx
lim
lim(-sin0)= isin0=0
(*)左側極限と右側極限が
0で一致したから, 極限値
x→+0
x-x?
x→+0
以上から
COS x-Cos x
lim
X→0
x-x
は0となる。
คำตอบ
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