6|| 整数の性質(20 点)
10進法で表された自然数 M, N がある。 Mを5進法で表すと3桁の数 abces となり、
Nを4進法で表すと3桁の数 cbaw となった。
(1) a=1, b=2, c=3 のとき、M, N の値をそれぞれ求めよ。
(2) M+N=43 のとき,a, b,cの値をそれぞれ求めよ。また、このときの M, N の値を
それぞれ求めよ。
(3)(2)で求めたM,N の値に対して、xy-2x+13y =M-N とする。この方程式を満た
す自然数x,yの組 (x, y) をすべて求めよ。
配点
4点(2)
8点(3) 8点
解答
a=1, b=2, c=3 のとき
abcs)= 123), Sbac)- 321 (4)
5進法で表された数123を 10進法で表すと M であるから
M=1×5+2×5+3=38
4進法で表された数 321(を 10進法で表すと Nであるから
N=3×4"+2×4+1= 57
圏 M- 38, N= 57
完答への
道のり
A5進法で表された数を 10 進法で表して Mの値を求めることができた。
64進法で表された数を10進法で表してNの値を求めることができた。
5進法で表された数 abcmを10進法で表すと M であるから
M=a×5"+b×5+c
M, Nをそれぞれ 10進法の式で
表す。
=25a+ 56+c
4進法で表された数 cba を10 進法で表すと Nであるから
N=c×4"+b×4+a
=a+46+16e
よって
M+N=(25a+56+c)+(a+4b+16c)
26g+96+17c
M+N=43 のとき
26a+96+17c - 43
abe), cbaa が3桁の数より
a, cは、1, 2,3のいずれか
6は0,1, 2, 3のいずれか
である。
a21, c21より
26a+96+17c2 26-1+96+17-1
26g+96+17c N 9%+43
4abc は5進法,cbau は4進法
で表された数であるから a,b,cは
は
0,2,めいずれかであり,3桁
の数になるからa, cは0ではない。
4a21, c21 を利用して不等式
…の
をつくり、bの値をしばり込む。
38 -
の,のより
96+43 S 43
bS0
bは0, 1,2,3のいずれかであるから b-0
このとき,Oより 26g+ 17c = 43
a22のとき,17c= 43-26a S43-26-2=-9
より,cが1,2, 3のいずれかであることを満たさない。
よって a=1
のに a=1, b=0 を代入すると,26+17c= 43 より c=1
したがって
M= 25+1= 26
N=1+16= 17
圏 =1, b=0, c=1,
M- 26, N= 17
完答への
道のり
OB M. Nをそれぞれa, b, cの式として10進法で表すことができた。
© M+N をa, b,cの式として10進法で表すことができた。
Oa.cが1,2,3のいずれか, あが0, 1, 2, 3のいずれかであることに気づくことができた。
@az1かつ c21より6についての不等式を立て、bの値を求めることができた。
Oa,cの値をそれぞれ求めることができた。
O M. N の値をそれぞれ求めることができた。
xy-2x+13y=26-17*
426-17- (26+17)(26-17)
xy-2x+13y = 387
x(y-2) + 13(y-2)+26 = 387
(x+13)(y-2) = 361
(x+13) (y-2) = 19
x,yは自然数であるから
= 43×9= 387
と計算してもよい。
4左辺を因数分解した形で表す。
x+13> 13
19は素数であるから,③, ①を満たすx+13, y-2の値の組は
(x+13, y-2) = (19, 19), (361, 1)
すなわち(x, )- (6, 21),(348, 3)
4x+13 は、13より大きい361 の
約数である。
圏(x, ) = (6, 21),(348, 3)
完答への
道のり
の方程式を変形し、「(xの1次式)×(yの1次式)=(整数)」の形の不定方程式をつくることができた。
0不定方程式を満たす。自然数x, yの組 (x, y) をすべて求めることができた。
ありがとうございます🙇♀️
もうひとつ聞いてもいいでしょうか？💦
その後の19.19と361.1はどのようにして求めればいいのですか？
なかなか思いつきにそうにないので、😥