その式の部分のみ解説しても天下りな回答にしかならなさそうなので、実際に解説を見ずに自分で解いてみました。
写真の下の補足部分を見れば納得できると思います。
何か分からない点があれば遠慮なく言ってください。
恐らく質問者さんが疑問に思っているのは、先程の写真のφに置いて、なぜφ＝∠PCT−θ ではなく、φ＝−（∠PCT−θ）としているのかがわからないということだと思います。これは間違えやすいので気をつけてください、三角関数における角度は大きさとは限りません。あなたが貼付した写真の図をもとに解説します。
そもそもこの問題は、Pの軌跡を知りたいので、円Cの回転による移動に依存せず、xy平面上で常に止まっている原点Oに注目し、ベクトルOPをθの関数として表そうというのが基本方針としてありますね。しかし、直接ベクトルOPを求めることは難しそうなので、これをベクトルOCとベクトルCPの和として求めようというわけです。ここにおいて、ベクトルOCは簡単に求まると思います。質問者さんが分からないのはベクトルCPを求める部分でしょう。私の貼付した写真を見てください。ベクトルCPを求めるには、図の点線で示したような、新たな座標XYをとれば、Cは原点となり、ベクトルCPの成分はXY座標における点Pの成分（座標）に他ならなくなるはずです。以下、問題はこのXY座標における点Pの座標を求めることに帰着するわけですが、点PがXY座標において第4象限に存在することに気をつけてください、第1象限ではありません。XY座標におけるPの座標は、X軸の正の部分から時計回りに大きさφだけ回ったところにあるわけです。よってXY座標におけるPの座標を求める際は(X,Y)＝(b cos-φ , b sin-φ)とマイナスを付けねばなりません。
同じような例が加法定理の証明についてもあります。
以下に示したリンクの、Ⅰ 余弦定理を使わない方法での証明 を見てください。点Pダッシュを求める際に、角の大きさはαですが、座標は写真の様にマイナスがついています。先程と同じ理由です、点Pダッシュが第四象限にあるためです。
https://hiraocafe.com/note/additiontheorem.html#link2
しかしここで注意しておきたいのは、第四象限に求めたい点があるならばマイナスがつく、と解釈してはいけないということです。あくまで大切なのは、単位円上の点を三角関数で表す際、x軸の正の部分から反時計回りの向きを、角度の正の向きとしているということです。これは数直線上の右向きを数値の正の向きにしよう、というの同じことです。角度にも数直線上の数値同様、正負が定義されている、質問者さんの疑問はこのことをあまり意識していないゆえの疑問だと思います。
↑単位円におけるx軸の正の部分と、数直線における原点は同じことです。
さらに納得するための補足。
先程の加法定理の例において、点Pダッシュの座標を時計回りではなく、反時計回りにはかってみましょう。座標は
(cos (2π-a) , sin (2π-a))
となるはずです。これを加法定理でもなんでも使って変形してみて下さい、(cos (-a) , sin (-a))を得られるはずです。
やはりθー角pctの所が分からないです
どこの部分を表してるのか...
pctの方がθより大きい気がするので...