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離易度
目標解答時間0 12分
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花子さんは,次の問題を下のように解いた。
問題
数列 (a.)があり,a」=1, an+」= 2a, +n+1 (n=1, 2, 3,………)を満たしている。
このとき,数列 {a.} の一般項を求めよ。
da=
n- コ
C=サ シ]
r「花子さんの解答】-
である。
a+1= 2a, +n+1 より
O
tu+1F 20, + 2n+2
く公式解法集 104 112
の
に
2。
20
b。= a, +n+1とおくと
ba+1= 26。
b,=a」+1+1 =3 であるから
b,= 3-2-1
a,=3-2"-1-n-1
の
(1) 花子さんの求めた数列 {a.}の一般項は誤りである。これは,花子さんの解答において
式変形が誤りであるからである。
ア]に当てはまるものを,花子さんの解答のO~@のうちから一つ選べ。
(2) 数列 {a.}の正しい一般項を求めよう。
6, = a, +n+k (kは定数)とおくと,ba+1 = an+1+n+ イ
ア の
|+k である。
このとき,6+1 = 26.. すなわち
aこうなるように
ag+1 +n+[ コ+k=2{u, キn+k)
が成り立つようなんの値を求める。
ここで、an+1 = 2a,+n+1 より
2a, +| ウ|n+
I]+k= 2a,+2n+2k
これより
である。
したがって,b,==a,+n+
k=| オ
オ
とおくと,数列{b。}は公比 カ
初項
の等比数列であり
b,=| カ
である。
ク]については, 当てはまるものを, 次の①~⑥のうちから一つ選べ。
O n-3
0 n-2
の n-1
④ n+1
n+2
よって, 数列 (a.の一般項は
a,=| カ
オ
n-
である。
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