「ほとんど気づかない」ではなく、「ほとんど違いがないと気づいた」ですよ。
違いがあるけどそれに気づかなかった、ではなく違いがほとんどない、それに気づいたということです。
もしnoticeを修飾するのなら、hardlyは（助動詞・be動詞・完了形のhaveの後ろ、かつ一般動詞の前）に置くのが基本の語順なので、noticeの前に置きたいです。
ここではそうではないのです。
副詞は動詞だけでなく名詞以外のものならなんでも修飾します。名詞を修飾するのが形容詞で、名詞以外を修飾するのが副詞という住み分けがあります。
ここでのhardlyはanyを修飾して、anyがdifferenceを修飾しています。
解説の言ってることは、
「ほとんど違いがない、という日本語からだとhardly differenceとしたくなる、けどhardlyは副詞だからうんぬん」
ということです。
指摘されていろいろ考えた結果、私の理解が誤りだと気づきました。
OED（英英辞典）は、hardly anyはalmost noのことだと書いてました。
だとすると、She notices no difference.「違いに全く気づかない」がalmostがついて「ほとんど全く気づかない」ということだと理解できます。
私は日本語の訳「ほとんど〜ない」に引っ張られて、ほとんどない違いに気づく、という誤解をしました。いろいろ調べたところ、ネット記事ですが、hardlyとは99%なくて1%あるくらいの状態、と買いてあるのを見ました。だとするとShe noticed hardly any differenceは、全体の1%の量の違いに気づく→ほとんど違いに気づかない と理解できるなと思いました。
hardlyの位置や、他の語句との修飾被修飾の関係は説明したとおりです。hardlyがnoticeを修飾するなら、she hardly noticesの語順にならないとダメで、今ここではhardlyは後ろのanyにかかっていてhardly any differenceという名詞のまとまりを形成しています。ですが日本語の訳自体は、先ほど説明したように、どちらの場合も「ほとんど〜ない」で構いません。
わー！わざわざありがとうございます！
何となく分かったような気がします！
hardly any differenceがひとつの名詞のかたまりで、
She noticesの目的語になって、
彼女は気づく→1%の違いに
みたいになるから、キレイにして彼女はほとんど気づかないという訳になったんですよね？
結局目的語になるような名詞のかたまりつくるためにhardlyが頑張って名詞を修飾するためにanyをいれたんですよね！そしたら問題集の解説も理解できます！
「hardlyが頑張って名詞を修飾するためにanyをいれたんですよね！」
おそらく解説はhardlyの使い方を中心に説明してるから、そう読めるのかもしれませんね。
hardlyを名刺に対して頑張って使うためにanyを入れてるかはわからないですけど、結果としてanyを入れれば正しい表現になるのは間違いないです。
それ以外はおっしゃってること全て正しいですよ！
分かりました！
ありがとうございました！！
回答ありがとうございます。
訳が「彼女は彼らの発音の違いにほとんど気づかない」になってるんですけど間違ってるんですか？