Question

Mathematica

4.2.8[例] (2) についてです。

αが自然数のときに整級数が多項式なることは理解できるのですが、
αが0のときにも多項式になることが理解できません。

αが0のとき与えられた整級数は1になると思うのですが、
それは多項式なのでしょうか。

また、
多項式ならば収束半径が+∞となるのはなぜですか？

因みに、自分で考えたときはこんな感じだと思いました。(2枚目の写真)

2) anz"|=1 anl-|21→cl21 (n→8のとき) だから, コーシーの判
定法(命題4.1.13の2)) によって|z|<さなら収束し, |エ>上ならみ
C
散する。ロ
n!(n+1)カ+1
n
n!
an
4.2.8 【例】 1) 2.
n
1-
n
ニ
ミ
ニ
n
→ 2
n=0 2
An+1
(n→8のとき) だから, 収束半径は eである.
C○
2) 2.Cz"(aは実数). 。Cォ3
だから, aが0ま
n!
n=0
たは自然数なら整級数は多項式になり, 収束半径は+8. そのほかの場合
Cn
Cnt-n+1
a-n
→1 (n→8のとき)だから収東半径は1である。
●テイラー展開
4.2.9 【復習】(テイラーの定理) 定理2.5.4の, 0でのテイラーの定理を復
習する。
0を含むある区間(0は端点でけないと
級
目目 fが

Cn e"
れ=0.&
an= αCr
とおぐど.
x Cat.
xCn
/ox-mtリ)
(ntl)/
ニ 。 - -二01
ante
an
X
Xryiy &m)
ntI
lrm antL
n>0
Tus0
ntI
X:定数
R=t
H

Answer 1

Crystal Clear

定数も多項式に含めるのが普通です。
そうすると多項式が足し算、引き算、掛け算、余りつき割り算、の演算で閉じていて都合がいいからです。

冪級数が収束するか、というのは
ある実数xに対して定まる無限級数が収束するか各xに対して考えるといったものです。

αが自然数のとき冪級数は多項式になる。
あるxについて定まる無限級数は十分大きいn以降、定数列である。よってこの数列は収束する。
これが任意のxについて言えるので収束半径は∞

αが0または自然数のとき、nが十分大きいとき|an+1/an|の分母に0が来るのでその議論は使えないため場合分けしている

二項定理 二項級数 一般化二項定理