3次元調和振動子の問題です。(10)がわかりません。(6)〜(9)は2枚目の

Physics

มหาวิทยาลัย

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เกือบ 4 ปีที่แล้ว

3次元調和振動子の問題です。(10)がわかりません。(6)〜(9)は2枚目のように考えました。

II.質量m、角振動数u(> 0) の1次元調和振動子について考える。この系の定常状態に対するシュレーディンガー方程式は以下のように与えられる: mw?2? -)(a) = Ey(z). d? 2m da? 2 この式は d d -e da 1 a= at l= V2 de mw を用いて (cla+)W) - EWe) Fwla'a と書き直せる。 (6) 基底状態のエネルギー Eと波動関数 o(x)を求めよ(規格化しなくてよい)。 (7) 第1励起状態のエネルギー Eと波動関数()を求めょ(規格化しなくてよい)。次に3次元調和振動子を考える。この系の定常状態に対するシュレーディンガー方程式は以下のように与えられる: (( )fャ) (2,9, 2) = E(z,y, 2). (iv) 2m 2 (8) 基底状態のエネルギーを丸,m,wのうち必要なものを用いて表せ。 (9) 第1励起状態の縮退度 Dを求めよ。 (10) 第1励起状態で L。 i ー 2 8z の固有状態であるD個の線型独立な波動関数を (vi) と書く。式(vi) の関数の具体形(規格化しなくてよい)とL。に対する固有値を求めよ。

1 (6)基底状態の波の関数や)コ次の関係を満大さカければならない。 a4,(x) = 0 2bリー Aerp(金のを (i)式に代入して両辺を比軟すろと Eota (7) 4, () = atVo (2) )Aery(-登) 22- 0p1登) 202 Oを(i) 式に代入して Er tw 2 (P) ) H--気(売 )+ Mw(x+メ4z) 2m ay2 2 -(-税器+壁x)+ (-芸労壁ッソ+ (芸番,型を) mar Hx t Hy + Hz シ Yu,9,2)ェ (2) Ys(3) Pz(2)と変部分触すると、えレディンがー方程式は (Hzt Hy t Hz )Yz4z te - E YEYY Yz HeYe Hx Px Hy Yy 44 っ3 と,-次え調0振動子と同様 (hz= Oil,2,2 X成分にフいて t 考えると Hx Pe: ExYe Ex= hu (net t) 2,2 についても同様に考えると E= tw (hethyt he + }) twlnt}) よって.基底状態のエネルデーは n-o のときで JiJ及えるから (n=o.l.t,) E。大ん (1) h= m+ ny + hg 1 と17る細はよって D- 3

調和振動子 3次元調和振動子

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เกือบ 4 ปีที่แล้ว

ハミルトニアンが球対称で、全角運動量L^2, x軸周りの角運動量Lxとハミルトニアンの同時固有状態を全状態の基底にできる。
水素原子のポテンシャルをU(x)=1/2 mω^2に変えたものが今回だから、第一励起状態は(n,L,Lx)=(1,1,0),(1,1,±1)となる。
こいつらを今回の第一励起状態の基底
ψ100(x,y,z)=ψ1(x)ψ0(y)ψ0(z)
ψ010(x,y,z)=ψ0(x)ψ1(y)ψ0(z)
ψ001(x,y,z)=ψ0(x)ψ0(y)ψ1(z)
の線形結合で表す。(基底の変換)

それぞれにLxを作用させてうまい線形和でLxの固有状態にすればいいが、答えの予想はつく。
100はx軸方向に振動、010はy軸方向振動、001はz軸方向振動
よって
100はx方向の角運動量は0
010と001を"位相をずらして"重ね合わせればyz平面での円運動になって角運動量は±hbar(回転方向によって符号きまる)
だからこれらが実際に正しいことを示せばいい。

2つの直交する直線偏光を右回り円偏光と左回り円偏光に変換する過程を思い出せるとよい。