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エネルギー保存則は
(エネルギーの総和)=(一定)
エネルギーの総和=E とすると
となるので
dE/dt=0
となるように逆算して式を組み立てれば良いです。今、重力によるポテンシャルは考えなくて良いので
E=mv²/2 + kx²/2
となるはずです。これを時間tで微分すると
dE/dt=mv(dv/dt)+kx(dx/dt) (←合成関数の微分を利用:力学や微分積分学の教科書または参考書を参照)
dx/dt=v
より
dE/dt=mv(dv/dt)+kxv=0
移行して変形すると
v×m(dv/dt)=v×(-kx)
両辺vで割れば
m(dv/dt)=-kx : 運動方程式
となります。解答はこの逆から進めれば大丈夫です。
つまり
両辺vをかける→移行する
→d(mv²/2 +kx²/2)dt=0に変形する
→ mv²/2 +kx²/2=(定数)
とすれば導けます。2問目はエネルギー保存則を使うだけなので高校生の復習問題です。
わかりにくかったらすいません
質問すみません。
dE/dt=mv(dv/dt)+kxv=0
このように＝0にできる場合はどんな時でしょうか？その運動に働いてる力しかない時みたいな大まかな感じで考えているんが、大丈夫でしょうか？
また、このような問題を解いてて不思議に思うのですが、写真のような落下運動で Vは積分していなくて、Kは積分しているのはなぜでしょうか？
お時間ある時で大丈夫なので、よろしければ教えてください。
よろしくお願いします
力学的エネルギー保存則は保存力だけが働く場合のみに成り立つ式です。今回は摩擦力などの非保存力が働かないという条件があったので力学的エネルギー保存則すなわち
(力学的エネルギーの総和E)=(一定)
これより
dE/dt=0
(↑一定すなわち一定値という変化しない数字なので微分したら0になります)
という条件が成り立つので、逆算して計算することができます。
2つ目の質問は
mgh
も積分して出した値です。1次元だったので解答のような導き方をしましたが、写真の場合、2次元なので、運動方程式は
m(d𝕧/dt)=-mg𝕛
両辺に𝕧(=d𝕣/dt)をかけて(ベクトルをかけるので内積)、0→tまで積分すると
(ただし、t=0のとき、y(0)=h,𝕧(0)=𝕠. t=tのとき、y(t)=0, 𝕧(t)=v𝕛とする）
∫{m/2 d(𝕧・𝕧)/dt}dt
=∫(-mg𝕛)・(d𝕣/dt) dt
線積分における処理を行うと
m{𝕧(t)・𝕧(t)}/2 -m{𝕧(0)・𝕧(0)}/2
=∫(-mg𝕛)・d𝕣
mv²/2 =∫(-mgdy) (※t:0→tでy:h→0)
mv²/2=mgh
となります。教科書などにも詳しく載っていると思うので参照して下さい。
ありがとうございます！
分からなくて、モヤモヤしていたのでスッキリしました。
ありがとうございます！
やってみます