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9の平方根は±3です。このように、
ある数nの平方根とは±√nです。
つまりi の平方根は±√i です。
(根っこというイメージです。)
この先解説です。
まず、i の平方根をa+biと置きます。(a,b実数)
このとき、 (a+bi)^2=i が成り立ちますよね。より、
a^2+(bi)^2+2abi=i
a^2-b^2+2abi=i. この式をよく見て、次の式を立てます。
a^2-b^2=0‥➊ かつ2ab=1‥❷
❷から、a,bは同符なので、➊から、
a=b‥❸
❸を❷に代入して、a=±1/√2 b=±1/√2
これを代入して、a+bi=±(√2+√2i)/2‥答
すごくわかりやすかったです！ありがとうございました！
少し端折りすぎたので、もう少し付け足します。a^2-b^2+2ab=i
この式の実部と虚部に分けています。右辺に実部がないからa^2-b^2=0 ➊同じく虚部は、
2ab=1❷
2ab=1より、abはプラスプラス、
マイナスマイナスですから、➊でa=bとなります。実際にでた±(√2+√2i)/2を2乗するとi になります。