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こんにちは。
質問者様の疑問を解決するためにはビードルとテータムが提唱した「一遺伝子一酵素説」(近年では一遺伝子一ポリペプチド説とも言われます。)の知識が必要です。「一遺伝子一酵素説」とは読んで字の如く、一つの遺伝子が一つの酵素(タンパク質)をつくるという学説です。この問題では「このDNAから3000個のタンパク質が合成される」とありますのでこのDNAには3000個の遺伝子が存在するということになります。タンパク質は遺伝子を転写し、翻訳することで合成されますので3000個の遺伝子から作られるmRNAは3000本です。
また、「一遺伝子一酵素説」は真核生物のアカパンカビでの実験により提唱された学説なので、細菌(原核生物)には基本的に適用されません。ですが、今回の問題では「塩基配列のすべてがタンパク質のアミノ酸情報として使われるものとする」とありますので、この考え方を適用しても問題ないと思われます。
質問者様の疑問への回答を優先して説明させていただきましたので細かいことは省略しております。もし、分かりにくいことやより詳しく知りたいこと等があれば気軽にお聞きください。勉強頑張ってください。
詳しく分かりやすい回答ありがとうございます。
自分でいくら調べても分からずもやもやしていたので、とても助かりました。