Question

hoka95

解の2行目
正方形となぜ言えるのですか？

なんとなくはわかるのですが、
明確な理由がわかりません。

A
ZA=90° である △ABC の内接円 O
4
R
例題
と辺BC, CA, ABの接点を,それぞれ
P, Q, R とする。BP=6, CP=4のと
B
P
き,円0の半径を求めよ。
A
解
円0の半径をrとする。
10
R
四角形 AROQは1辺の長さ rの正
方形であるから
B
P~-4--C
AR=r, AQ=r
また,BR=BP=6, CQ=CP=4であるから
AB=r+6, AC=r+4
15
よって,直角三角形 ABC に三平方の定理を適用すると
(r+6)°+(r+4)。=10° すなわち p+10r-24=0
これを解いて
ア=-12, 2
r>0であるから
ア=2
答 2

Answer 1

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Crystal Clear

下図のように、3つの角が直角だとわかる。(直角三角形、接点だから)これで、四角形は残りの角も360-90-90-90=90度だから、長方形。円の半径だからOR=OQで、隣り合う2辺が等しい長方形となって、これは正方形。

hoka95

ありがとうございます。

「長方形」ならば
「正方形」と言わなくても
「AR＝r,AQ＝r」がわかるのでは。

さらに言うとは
「長方形」ならば
「AR＝r,AQ＝r」（対辺）
だから
「正方形」
だと思うので、
「正方形」だから「AR＝r,AQ＝r」が、
おかしいと思うのですが。

Crystal Clear

ええと、長方形の時点では、直角条件のみ使っていて、OR=r, OQ=rという条件をまだ使っていません。
よってこの時点では、長細い長方形、つまり1つの直角を挟む2辺のながさが異なる長方形の可能性があります。
そこで、半径に注文してOR=r, OQ=rとすることで、直角を挟む2辺の長さが等しい長方形だと言えて、それは正方形になります。

長方形の時点では長細い長方形の可能性があるので、AQ=OR, AR=OQまでは言えますが、AQ=ARまでは言えません。
OR=OQ=rなる条件を使って初めて(正方形と言えて初めて)、AR=AQが言えるのです。

hoka95

ありがとうございます。

Ａからの円の接線より
AR＝AQはわかっているので、
特に「正方形」と言う必要があるのでしょうか？

hoka95

長方形
だからAQ=OR, AR=OQ
またOR=OQ=r
だから「AQ=OR＝AR=OQ＝r」
だから「正方形」

だとわかるのですが、

いまは
「正方形」だから「AR＝r,AQ＝r」とあります。
「AR＝r,AQ＝r」を使わないで「正方形」であると言えるかが
疑問です。

Crystal Clear

Ａからの円の接線より、AR＝AQとしてもいいですね。
----------------
長方形かつOR=OQから正方形であることが導かれる、というのはOKですよね。
幾何の証明の仕方は、どの定理を前提にするかで少し異なりますが、本質的には上で尽きていて、四角形が正方形であることはこれで解決していると思います。

hoka95

長方形かつOR=OQから正方形であることが導かれる、
というのはOKです。

いまは
「正方形」だから「AR＝r,AQ＝r」とあります。
「AR＝r,AQ＝r」を使わないで「正方形」であると言えるかが疑問です。

つまり、「長方形」だから「AR＝r,AQ＝r」
または「平行四辺形」だから「AR＝r,AQ＝r」
ならば納得なのですが、
「正方形」だから「AR＝r,AQ＝r」が
おかしいと思うのですが。

hoka95

長方形かつOR=OQ
「対辺は等しいので」
正方形

つまり、

長方形かつOR=OQ
「対辺は等しいので」⇄ 「AR＝r,AQ＝r」
正方形

なので、
「正方形」だから「AR＝r,AQ＝r」ではなく
「AR＝r,AQ＝r」だから「正方形」
だと思うのですが。

長く答えていただき
ありがとうございます。

hoka95

あっ、教科書の解の2行目から4行目の流れのことです。

Crystal Clear

なるほど、今の論点は
なぜ正方形であると言えるのか
から
正方形ならばAR=AQという論法の不自然さ
に移っていたのですね。

正方形の定義をどうするかによると思います。
長方形のうち、ある直角を挟む2辺の長さが等しいもの
と定義するなら、正方形であることがまず示されて、そのあとで正方形の性質として全ての辺の長さが等しい(菱形でもある)ことからAR=AQが導かれます。
正方形の定義を長方形でかつ全ての辺の長さが等しい
とするならば、正方形ならばAR=AQは論法としておかしいです。

hoka95

本当にありがとうございます。

そうなんです。
正方形の定義なんですが、
「長方形のうち、ある直角を挟む2辺の長さが等しいもの」は、中高の教科書にないと思います。
これを使っていいのでしたら、
教科書の解にも納得です。

調べてみると中高の教科書では、正方形の定義は
「4つの角が等しく、すべての辺が等しい四角形」
としかないようです。

そうなると、教科書の解の「正方形」の理由が
わからないのです。

Crystal Clear

「4つの角が等しく、すべての辺が等しい四角形」を正方形の定義とした場合、
正方形であることを示すために4辺が等しいことを示す必要があるため、AR=AQ=rを示してから(証明は簡単なので省略します)正方形であることが言えることになります。
ゆえに、そのあとで正方形だからAR=AQ=rと続くのは論理として不自然です。というかトートロジーみたいなもんです。

ただ、実際のところ正方形であることが示せるし、AR=AQ=rも正方形であることとほぼ同時に示されるし、この問題の本質じゃないし、別にいいんじゃないですか？

hoka95

何度も丁寧にありがとうございます。

やっぱり
「正方形だからAR=AQ=rと続くのは論理として不自然」ですよね。

「正方形」について、
自分の知らない定理や見落としがあるのでは、
と思っていたので、
その答えが聞けて、安心しました。

確かにこの問題の本質ではないので
どうでもいい部分だとは思います。

ただ
「長方形」（4つの角が等しい）だから「AR＝r,AQ＝r」
または
「平行四辺形」（2組の対角が等しい）だから「AR＝r,AQ＝r」
ならば納得なのに、

わざわざ「正方形」だから「AR＝r,AQ＝r」
としたのが、なぜなのか気になったもので。

本当にありがとうございます。