Question

田中真紀子

tanxの逆関数の微分です。
最後のtanx→xの入れ替えはy=1/1+（tanx)^2のxとyを入れ替えているんですか？
最後の行がわからないです🙇🙏

t- tanス
g)- frn u を。
fo)
(ho) . 1at ho)
fo
to- ho) - afa-
(けえ
- Cos2 =
Cosii
し長がって(Fm)
1fx

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Um

y=f(x)に対して、これをxについて解いたものをx=f^-1(y)と表します。
これについて、xとyを入れ替えたものつまりy=f^-1(x)を逆関数とします。
すると逆関数の微分は{f-1(x)}’=1/{f(y)}’となります。証明は省きますが、つまり
dy/dx =1/(dx/dy)が成り立ちます。
ここではy=tanxの逆関数y=arctanxの微分は、
{arctan x}’=1/{d(tany)/dy}=1/1/cos ^2y
=1/1+(tany)^2=1/(1+x^2)となります。

ここで勘違いしないで欲しいのは、
y=^-1f(x)=arctanx に対しx=f(y)=tanyです

Um

すみません、合成関数の微分で計算したんですね、g’(f(x))=1/(1+tan^2x)=1/(1+{f(x)}^2)
ここでgの引数のf(x)をxにします。
するとg(x)=1/1+x^2

Um

*g’(f(x))

田中真紀子

g(f(x))のf(x)をxにしたってことですね！理解出来ました！ありがとうございます！