Question

んにゃ

代数の問題です。分かる方いましたら、考え方を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

R = 中i]をガウス整数環とし,a=2+ 3i,b=ー3+8i とする(1 =Vニ1). このとき
R は PID であるとし,ajbどER とする.
(1)aとbに対して
cはaとbの両方を割り切る 信cはgを割り切る
という性質をもつ元 gどR が存在する(c は R の元を表す)
(2) R の元g が1)の性質をもつとする.このとき ax+by=g をみたすxyeR が存在する.
(3) R がユークリッド整域であれば (1) と (2)のg と xyy はユークリッドの互除法で求め
られる.
の条件を満たす g,x,yどR を(一組) 求めよ.

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Crystal Clear

1はgがa,bの最大公約数であること
2は最大公約数がみたすベズーの等式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%BA%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F
3は最大公約数がユークリッドの互除法で求められること
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BA%92%E9%99%A4%E6%B3%95
を表しています.
これらの最大公約数の性質は初等整数論で広く知られた事実ですが、これがガウス整数環でも成り立つという内容です.

やることは整数のときと同じように、ユークリッドの互除法で最大公約数を求めます.
ユークリッドの互除法は割り算を繰り返しますが、ガウス整数での割り算は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%E6%95%B0
のように定義します. (商の絶対値>余りの絶対値 とする)

以上をもとにすればあとは計算するだけです.

以下解答

----------------------------------------

複素数の絶対値が大きいbを小さいaで(ガウス整数の範囲で)割るときは、まず複素数の範囲で割り算して
(-3+8i)/(2+3i) = 18/13 + i 35/13 ≒ 1.38+1.92i
ガウス整数での割り算では商はガウス整数でないといけないから、これに最も近いガウス整数1+2iが商になる.
-3+8i=(2+3i)(1+2i)+1+i ①
より余りは1+i
ユークリッドの互除法に従うと 次は(2+3i)/(1+i)
(2+3i)/(1+i) = 5/2+i/2　
これに最も近いガウス整数は2 or 3 or 2+i or 3+i
ガウス整数での割り算ではこのように商が一意に決まらない. ここでは2+iとする. (どれを選んでもいい)
2+3i=(1+i)(2+i)+1　②
より余りは1
ユークリッドの互除法に従うと 次は1+i/1だが明らかに商が1+iで余りが0である.
ユークリッドの互除法に従うと 余りが0になったら終わりでこのとき最後の割り算でわった数1が最大公約数gになる. (つまりaとbは互いに素だったということ)

まとめると
gcd(2+3i,-3+8i)=gcd(2+3i,1+i)=gcd(1,1+i)=1=g

ax+by=g となるaとbはユークリッドの互除法の過程①②からわかる
①から
1+i=b-(1+2i)a
②に代入して1+iを消去して
a=[b-(1+2i)a](2+i)+1
整理して
a(1+5i)+b(-2-i)=1=g
ゆえ
x=1+5i,y=-2-i,g=1

[註]二回目の割り算の商で違うものを選ぶとg=-1,i,-iと対応するx,yが求まる. ガウス整数での最大公約数は公約数のうち絶対値が最大なものだからこの場合g=±1,±i どれでもいい.

ガウス整数,ユークリッドの互除法,環論

んにゃ

解答まで丁寧にありがとうございます！
条件の内容を理解することが出来ました。