(1) a,b∈Rとし，p(X)=X^2+aX+b∈R[X]はR[X]の既約多項式と仮定し、p(X)のCでの 根の一つを α とおきます。
B = R[X]/(p(X)) を，R上の1 変数多項式環 R[X] のイデアル (p(X)) による剰余環とし、環の準同型写像 φ: R[X] → C をf(X) ∈ R[X] に対して φ(f(X)) = f(α)で定めます。
φ に環の準同型定理を用いることで、環B は複素数体 C と環の同型であることを示したいです。
また、X^3 − 2 を R[X] で X^3 − 2 = (X − 3^√2)q(X)(q(X) ∈ R[X])と分解し、R[X] のイデアル I=(X− 3^√2)とJ=(q(X))を考えるとき、I+J=R[X]の示し方も教えて頂きたいです。宜しくお願い致します。
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準同型定理より
R[X]/Kerφ=Imφ
Kerφはαを代入すると0になるR上の多項式でp(X)の倍数であるから(p(X))
ImφはR上の多項式f(X)にαを代入した値たちの集合。f(X)=p(X)q(X)+cX+dと表せるので、それらの集合は{cα+d|c,d∈R}。αは実数でないのでこの集合はCとなる。
これで示された。
X-3^√2とq(X)が互いに素だからべズーの等式が成立するから成り立つ。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%BA%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F
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g(X)=X-3^√2とする。
gとqは互いに素、つまり最大公約多項式が1だからべズーの等式より
a(X)g(X)+b(X)q(X)= 1
となるようなa(X),b(X)∈R[X]が存在する。
両辺にf(X)をかければ、
(a(X)f(X))g(X)+(b(X)f(X))q(X)=f(X)
(a(X)f(X))g(X)∈I
(b(X)f(X))q(X)∈J
より
f(X)∈I+J
これが任意のf(X)∈R[X]でなりたつから
R[X]⊂I+J
一方自明にI+J⊂R[X]
ゆえに I+J=R[X]