2つの方法で解いてみたいと思います。
[方針1]
△BQPと△COQのままではわかりにくいですが、四角形APQOも含めて考えたら見えてくるものがあると思います。四角形APQOと△BQPを合わせた部分というのは△AOBであり、四角形APQOと△COQを合わせた部分というのは△ACPです。
つまり
△AOB=△BQP+四角形
△ACP=△COQ+四角形
なので、△AOB=△ACPになれば必然的に△BQP=△COQになります。
[解答]
△AOBに関しては8×8×1/2=32と簡単に求められます。よって△ACP=32となればよく、ACを底辺とみればAC=8+6=14です。高さはちょうどPのy座標にあたりますが、14×(Pのy座標)×1/2=32より(Pのy座標)は32/7となります。よって、 y=-x+8に代入してx=-32/7 +8=24/7となります。ゆえに、(24/7, 32/7)です。
[方針2]
とはいえ、[方針1]は思い付きの問題なので、思い付かないと無理です。実際に入試本番で、思い付いたらそれでいいですが、無理ならその問題は捨てるか、多少泥臭いやり方でも、答えを出すためにゴリ押しするしかありません。
Pがどこかわからないけど、y=-x+8上にあるのは明らかなんだから(t,-t+8)とでも置いてやってゴリゴリ計算していったら解けるはずです。文字設定したらうまく行くことは結構多いです。
[解答]
Pのx座標をtとすると、このときP(t,-t+8)と表せます。したがって、直線PCは(t,-t+8)と(-6,0)の2点を通るので、y=(-t+8)x / (6+t) + b (bは切片)と表せます。
bは(-6,0)を代入することによりbは求まりますが、後々計算が大変になるので一旦文字のまま計算して後から代入します。
△COQの面積は
6 × b ×1/2
△BQPの面積は
(8-b) × t × 1/2
よって
6b=t(8-b)
となります。
あとは、このbに代入します。ここからの計算は写真を見てください。
2次方程式を解くとtが求まるので、結果的に代入すればPの座標が求まります。かなり中学数学の計算としては重めなので推奨はしないですし、北海道にいる作成者はおそらくこう解いてほしくないからめんどくさい数字に設定して計算ミスを誘発させていると思います
とっても丁寧にありがとうございます理解できました