この問題は
√(8b) が自然数となる自然数b (b≦100)は
いくつあるか
と、言い替えることができます。
まず「8」をルートの外に出すためには
8 = 2³ より
b の素因数に「2」が最低でも１つ含まれている必要があります。
そしてその「2」以外の部分が平方数になっていれば、ルートを外して自然数にすることができます。
つまり
b = 2n² (n は自然数)
となれば良いということです。
代入してみると
√(8b) = √(8 × 2n²)
= √(16n²)
= √(4n)²
= 4n
したがって
b = 2n² のとき a = 4n となり
ともに自然数であるという条件を満たします。
また、
a ≦ 100 より
4n ≦ 100
n ≦ 25…①
b ≦ 100 より
2n² ≦ 100
n² ≦ 50
n は自然数なので、7² = 49 より
n ≦ 7…②
①②より
n ≦ 7
ここで
n = 2 のとき
a = 4 × 2 = 8
b = 2 × 2² = 8
カードは１枚ずつしかないので
a ≠ b だから n ≠ 2
よって
n = 1、3、4、5、6、7
のとき、100以下の自然数 a、b について
a = √(8b) (a≠b)
を満たす。
答え 6 通り
分かりにくいところがあったら言って下さい(^^
もう少し具体的に言うと b は
2 × 1² = 2
2 × 3² = 18
2 × 4² = 32
2 × 5² = 50
2 × 6² = 72
2 × 7² = 98
の６通りです。
例えば b = 18 のときは
a = √(8b)
= √(8 × 18)
= √(2³ × 2 × 3²)
= √(2² × 2² × 3²) ←すべて ○² の形になるので
= 2 × 2 × 3
=12
という感じ。
他の数も同様です。
また、
2 × 2² = 8 は
a = b = 8 になるため不適
(カードは１枚ずつしかない)
b = 2n⁴ でも a は自然数になりますが
2 × 2⁴ は 2 × 4² と等しく
2 × 3⁴ =162
と、100 を越えてしまうので
４乗は考えなくても良いです。