ページ3:

(3)
y =32x+1 -5.3+1 +18=3t2 -15t +18=3(t-
1>0より3(--) 0 だから y≧
2
3
よって最小値は
--
4
3
--
4
また、このときであり、元に戻すと
2
=
両辺に底3の対数をとると
3
--
5-2
4
5
10
log 10
10g10
5
2
4
10g 10 10-logo 22
x=log3
=
==
2 1010
3
10g10 3
log 10 3
1-2 × 0.301
x=pとすると p=
= 0.83...
0.477
よって, pの小数第1位は 8圏
1-2 log 10 2
log 10 3

ページ4:

|B8
2023年1月進研高2模試
♡ 指数・対数関数 ♡
aは正の定数とする。 x の関数 y=4l-a･2* + 4a がある。
また, t = 2" とする。
(1) a=2とする。x=0のとき, yの値を求めよ。
(2)a=1とする。 y を tを用いて表せ。 また,このとき,y=7と
なるようなxの値を求めよ。
(3) yの最小値が4となるようなαの値を求めよ。 また、このとき,
5 ≦y ≦20となるようなxの値の範囲を求めよ。 (配点 40)

ページ5:

(1) a=20 y=4*1-2.2*+4x2
4-2-2 +8
x=0のとき
=41-2.2º +8
1
==-2x1+8
4
||
25
4

ページ6:

(2)a=1より
y = 4f-l -1.2" +4×1
=4x-1-2x+4
=(22)^-'-2" +4
=(2*)^2-2 -2'+4
=1(2'2' +4
指数法則を
利用
4
1
t=2"より
t" -t+4
4
y=7より
t-t+4=7
4
t' -4t-12=0
(t+2)(t-6)=0
t = 2">0より
t = 6
tを元に戻すと
2x = 6
両辺に底2の対数をとると log2 = 10g26
すなわち
x=10g26

ページ7:

(3)前半
y=4-l-a2"+4a で, t = 2"とおくと
1 2
4
1
-t² - at +4a
==(t-2a)² -a² +4a
4
よって、頂点(2a-a²+4a), 下に凸の放物線だから
最小値が4となるためには頂点の y 座標が4となればよさげなので
-a²+4a=4
a2-4a+4=0
(a-2)=0
a>0より
a=2

ページ8:

(3) 後半
a=2のとき y=
-2t + 8
4
oy=5のとき 5=
- 1₁² - 2t+8
=>
f2-8t + 12=0
4
∴ (t-2)(t-6)=0
t0より
t=2, 6
1
o y = 20 のとき20=-1
- 2t+8
=>> t2-8t-48=0
4
∴ (t+4)(t-12)=0
t > 0より
t=12
ここで,
t=2のとき 2=2より
・t=6のとき2=6より
・t=12のとき 2"=12より
x=1
x = log2 6
x=log2 12
20
ここまで
ここから
5
ここまで
ここから
t
0
2 4 6
12
図より 0<t≦2, 6≦t≦12
すなわち x≦1, log2 6≦x≦log2 12

ページ9:

2022年1月♡ 研高2模試
B8 関数f(x) = (log2 x)(10g, x-2)がある。
(1)f(8), f() の値をそれぞれ求めよ。
(2) 方程式 f(x)=3を解け。
(3)異なる正の実数a, bがf(a)=f(b)を満たしながら変化するとき, b を
a を用いて表せ。 また,このとき,y=
'の最大値と, y が最大値
をとるときのa,bの値をそれぞれ求めよ。
(配点 40)

ページ10:

(2) f(x)=(log2x)(log2x-2)=3 ✯#LV x>0
10g2x=t とおくと(-2)=3
Ot 30 log2x=3
Ot=-1 log2 x = -1
←
→
←
->
t² - 2t-3=0
(t−3)(t+1)=0
t=3, t=-1
.. log2 x = log2 23
x=23=8
.. log2 x = log2 2-1
1
x=2¹ =
2
答え x = 8,
1-2

ページ11:

(3) f(x)=(log2x)(log2 x − 2) = 3
f(a)=f(b)より (log2 a)(log, a − 2) = (log2b)(log, b-2)
log₁ aα, log b =
a²-2α= p² -2ẞ
a² -ẞ² -2(α-B)=0
. (a+b)(a - b)-2(α- ß) = 0
(a-B)(a+B-2)=0
aとbは異なる正の実数だから α = β
α+ B-2=0
log, a+log2 b-2=0
よって
もとに戻すと
.. log2 b = -log₂ a +2
-1
=log2 a¹ + log2
= log₂ (a¯¹×2²)
4
= log₂
a
底2が等しいので真数部分も等しいから
b =
a

ページ12:

(1) f(x)=(log2x)(log₁ x − 2)
Olog2 8=log2 23 = 3log₂ 2=3x1=3
ƒ(8) = (log28)(log28-2)=3(3-2)=3
1
=
1
Olog2
= log21
log₂ 23=-3log2 2=-3)
8
23
1
1
= log2
log2
-2=-3(-3-2)=15
8
8
8

ページ13:

3
4
b=-より
a
y= }}>*
y =
=
4x2
8
=
a
8
a > 0, -> 0だから相加・相乗平均より
a
8
a+-≧2ax- =
a
8
= 4√√2
a
1
①の底ー<1だから①と②より
2
a+-
a
1
4√√2
すなわち
4√2
y ≤
よって, 最大値は
4√2
8
また,②の等号成立条件は a=つまり²=8
a
すなわち=2√2 (a>0)のときであり,このとき
4 4
b=-=-
a
2V
=
√2 である。
答え a=2√2,b=√2 最大値 (2)
大値(
4√√2