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1月進研記述高2模試~過去3年ふりかえり~自学 ©Akagi
B 5
【2024年】
等差数列{a}があり, ag = 31, a2+α3 + α = 33 を満たしている。
また,数列{b,}があり,b=2,bmt1=3b, + 2 を満たしている。
(1) 数列{a}の一般項α をn を用いて表せ。
(2)数列{6}の一般項 b を n を用いて表せ。
n
Σ
n
(3)S, = (a,b+ax+b)とする。 S,をnを用いて表せ。
〖2023年〗
k=1
1
n
初項が一の等差数列{a}があり, a3 -α,=-2 を満たしている。
4
また, 数列{a}の初項から第n項までの和を とする。
n
n
(1) 数列{a}の公差を求めよ。 また, 一般項 α を n を用いて表せ。
n
(2) 一般項 bを a を用いて表せ。 また, 数列{b,}の偶数番目の項だ
n
けを順に取り出してつくられる数列を{c}とする。 このとき,一般項c
をnを用いて表せ。
(3) 数列{d}があり,d=3,d=-d+4を満たしている。
一般項 d„をnを用いて表せ。
【2022年】
n+1
n
等差数列{a}があり, az + α =12, a + α = 32を満たしている。
また, 数列{6}があり,b=2,b-b = 2" ' を満たしている。
n
n+]
n
(1) 数列{a}の一般項 a n を用いて表せ。
n
n
(2)数列{6}の一般項b をnを用いて表せ。
n
n
n
(3) S₁ = Σ
ak
とする。 S をnを用いて表せ。 また,n ≧ 3の
n
n
k(b-1)
とき, S, の小数部分が0.999 より大きくなるような最小のnの値を求
めよ。
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【 2024年: 数列〗
(1) α = α₁ + (8− 1)d = 31
.. a₁ + 7d = 31
・①
α ₂ + α 3 + α ₁ = (a₁ + d) + (a₁ +2d)+(a₁ +3d) = 33
.. 3a + 6d=33
②
①×3-② より
15d = ¥60
①より
. d = 4
a₁ = 3
α = 3α +2
したがって
an
=4n-1圈
→ α = −1
(2) b₁ = 2, b = 3b, +2
=3b+2 → br.
bn+1+1=3(b +1)
n+1
n
特殊解型の
·· b₂ +1=3·3-1
数列{b+1}は
n
初項3公比3の
漸化式
n
·· b₂ = 3″ – 1×
等比数列
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【2024年:数列】 (3) a =4n-1, b =3"-1 n n -> k k ab + a + b = (4k − 1)(3k − 1) + (4k − 1) + (3* − 1) - - . = 4k 3k -1 n n よってS n k k=1 k=1 n n ここで,k. とおくと T. = 3k £ɔT S¸ =Ź (a,b,+a¸ +b‚)=4Σk-3- k=1 [1 k=1 ( 等差) × (等比)型 T. =1.3¹ +2.3² +3.33 +...+n.3" n n.3n+1 1.32 +233 ++ (n-1).3" + n.3 "+1 ...② 3T = n ①-②より -27=3' +32 +33 +...+ 3" - n.3"+1 n 3(3" -1) = n⋅ 3n+1 よって 3-1 · (3n+1 - 3-n⋅ 3 "+1) =/12 |= T₁ = 1½ (2n-1) - 3+1 n 4 ⑩に代入すると . 3 + 4 S₁ = 4 n 4 = (2n-1). 3n+1 + = (2n − 1)· 3+1 — n+3 - 3 - n 4
ページ4:
【2023 年:数列〗
1
1
(1) α 3
a₁ = 4+ (3-1)d = 2d +, a = + (7−1)d = 6d + ||
1
1
4
4
4
4
a3-a₁ = (2d +
(2d+1)-(6d+12)=-2d=12
an
1
--
4
+ (n-1) x
1
2
==
2
n
-
1
4
☑
(2) b = =
n
+ (n-1)x
等差数列の和の公式
1
==
4
n²
=
=
b2 1, b4 4, b = 9, 1
6
...
1
Cn
c₁ = b₂n
2n
-·(2n)² = n²
4
1
(3) d₁ =3, d₁₁₁ = −d +4
d,
→>
n+1
n
d+1-2=-(d−2)
n
:.
特殊解型の
d-2=1⋅(-1)"-1
漸化式
数列{d-2}は
n
d = (-1)" +2
初項1公比-1の
等比数列
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【2022年:数列〗 (1) a + α = (a + d)+(a,+3d)=12 a6 4 + α = (a + 5d)+(a, +9d)=32 • a₁ +2d=6 ......① .. a₁ +7d=16 ② ② ① より 5d=10 . d = 2 ①へ代入して α +2x2 = 6 • a₁ = 2 したがって n =2+(n-1)x 2 = 2n圏 (2)6,=2,b-b=2"-1 n+1 階差数列型の漸化式 n≧2のとき bm=b,+ X21=2+ n-1 k-1 k=1 これはn=1のときにも成り立つ。 1(2"-1 2-1 - 1) = 2" + 1劄 初項 1, 公比 2, 項数 n-1 の等比数列の和
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【2022年: 数列〗 (3) Sn = n k=1 ak = k(bk-1) n 2k k (2k-1 +1-1) k=1k(2 1 n n =2Σ k=1 1 2 k-1 = =4 2 =2x 1 1 2 n-2 n-2 1 <1→ >-1 2 1 ok(12) n-2 1 2 答 ∴.4>4-| n-2 >4-(+) >: 2 ∴3 <S <4 n 元の数-整数部分 S の小数部分はS-3=1- n Su-3-1-(1) n これが 0.999 より大きいので n-2 1 1 2 > 0.999 .. 211 = 2048 212 = 4096 ※を満たす最小のnは 2 (1) 2 (1) 2 >3 n-2 n-2 n-2 > -0.001 1 1000 <0.001 ∴.2"-21000 2"> 4000 ……※ n = 12
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解説お願い致します🙇🏻♀️
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