ページ3:

(2)直線の方程式
求める直線は (6, 0) を通るので、定点公式により
とおける。
y-0=m(x-6)⇒mx-y-6m = 0...... ア
円の中心(0, 0) と直線アとの距離が5(円の半径)となればよい
ので、点と直線の距離の公式により
|0-0-6m|
d=
=5
∴|-6m| =5√m² +1
両辺を2乗
√√m² +(-1)²
∴.36m² = 25(m² + 1)
25
:. m² =
11
y>0で接するとき、直線の傾きは負だからm=--
5
5
これを①に代入して
-
=x-y-6×(--
すなわち
√11
5x + √11y-30 = 0答
5√11 30√11
(y=
·x+
11
11
√11
= 0

ページ4:

(3) y=kとおくと、y=k(x-a)と表せ、この直線はkの値に関係
x-a
なく、必ず点(a, 0)を通る。
円上の点における
接線の公式
ここで、点(4,3)を通る接線の方程式は、4x+3y=25
25
であり、この接線とx軸との交点はx=
・(*)
4
25
よって、 を境目としてαを分ければよさげ。
4
25
4
i.6≦a≦. のとき、y=k(x-a) を x2 + y2 = 25 に代入すると
x2+k^(x-a)^ = 25
∴. (k2+1)x2 -2k2ax+k2a2-25 = 0
①の判別式が 0 となればよいので
D/4=(a2-25)k2=25
25
条件より、α-25≠0だから k2=
=
-25
5
k < 0より
k=m=
√a² -25
25
ii.
<a ≦10のとき、y=k(x-a)は点(4, 3)を通るときに
4
3
傾きkが最小となるから
k=m=
4-a
y
15
3
4
25
4
x

ページ5:

1
【 2023年】 座標平面上に直線l: y=--x+k (kは正の定数),
3
円 C: x2 + y2 - 4x+2y=0があり,円Cは直線lから長さ10の
線分を切り取っている。 また, 連立不等式
の表す領域をDとする。
(1) 円Cの中心の座標と半径を求めよ。
+k
3
2 + y2 -4x+2y ≦0
(2)kの値を求めよ。 また, 領域Dの面積を求めよ。
(3)円K:(x-a)+(y-a)²=20と領域Dの共有点が存在する
ような定数 αの値の範囲を求めよ。

ページ6:

(1) 平方完成すると (x2 -4.x +4) + (y' + 2y + 1) = 4+1
(x-2)^ + (y+ 1) = 5
=
したがって 中心(2, -1) 半径√5圄
(2)~前半~
直線lの一般形 : x+3y -3k = 0
円の中心から直線lまでの距離をdとすると
√10
2
d=
|2+3×(-1)-3k|_|-1-3k|
V12 +32
√10
9k2 + 6k +1
:d2 =
10
また,右図で三平方の定理より
d2=(√5)-(
=
2
V10. 5
2
2
2
①と②は等しいから
9k 2 + 6k + 1 5
10
2
∴.3k2 + 2k-8=0
∴ (3k-4)(k + 2) = 0
k>0より
k
-
--
3

ページ7:

(2)~後半~
領域 D は扇形 S+直角二等辺三角形 S2
3 15
° S₁ = (√5)² л×-
2
4 4
○S2=15×15×12=1/2
2 2
したがって, 求める面積は
15
+一 -π)
4
√5

ページ8:

(3)
ア:円 Kと円 C が外接する(下側の方)
イ:円Kが円 C と内接する (KがCの内部) この三通り
ウ:円 K が直線lと接する
アのとき･････2 点(2, -1),(a, a)の距離が3√5
(a-2)^+ (a+1)^= (3√5)²
∴a²-a-20=0
∴ (a-5)(a+4)=0
a=5のとき2円は接するけど領域D
とは接しないから不適。
よって a=-4
イのとき･･････2点 (2, -1), (a, a)の距離が√5
(a-2)^+(a+1)²=(√5)²
∴.α-a = 0
∴a(a-1)=0
a=0, 1
⑦のとき･････点(a, a)と直線l:x+3y-40の距離が2√5
|a+3a-4|
=2√5.14a-4|=10√2
√12+32
5√√2
∴|a-1|=
5√2
∴a=1±
2
図から, a=1+
5√2
2
(接する)
※接点が領域Dに入っているか確認した方がよさげだけど
, イ, ウより, 求める範囲は-4≦a≦0, 1≦a≦1+
5√2
2

ページ9:

【2022年】 0を原点とする座標平面上に, 円 C:x2 + y2=2と直線
l:y=x+k (kは定数) があり,円Cと直線lはx座標が正である
点Pで接している。
(1) kの値を求めよ。 また, 点Pの座標を求めよ。
(2) 直線l上でx座標が4である点を A, △OAP の周および内部
を表す領域をDとする。 円 x2 + y2-8y+16-a²=0(aは正
の定数)が領域 Dと共有点をもつとき, αのとり得る値の範囲を求
めよ。
(3) tは正の定数とする。 点(x, y)が(2)の領域D内を動くとき,
2
t+yの最大値を M,最小値を とする。 M-m=2となる
ようなtの値を求めよ。

ページ10:

【2022 年:図形と方程式】
(1)
|0-0+k|
=
/2
∴|k| =2
√12 + (−1)2
∴.k=-2圈 (k<0)
円Cと直線lを連立方程式として解くと
x2 +(x-2)^-2=0 (x-1)^= 0
∴.x=1
直線lに代入して
y=1-2=-1
P(1, -1)圈
(2)円 Q:x2 + y2-8y + 16 - α = 0
より x2 + (y-4)' = a2
→ 中心 (0,4) 半径 α
ア:円 Qと直線 OA (x-2y=0)が接するとき, αが最小となる。
円の中心(0, 4)から直線 OAまでの距離がαだから
|0-2x4|
a =
8
√12+(-2) 25
イ: 円が点P を通るとき, αが最大となる。
P(1, -1)をQの式へ代入すると
a>0より
イより
a2 =12 + (−1−4)²= 26
√5 ≤ a≤ √26]
a = √√√26

ページ11:

【2022 年:図形と方程式】
(3)x+y=bとおくと y=-x+b (傾き-t, 切片♭の直線)
切片bが最大となるとき+yも最大となり,切片6が最小となる
とき+yも最小となる。
ア: -1 ≦ -t < 0 すなわち 0 t≦1 のとき
・点A(4,2)を通るときは最大となるから M = 4t + 2
・点P(1, -1)を通るときは最小となるからm=t-1
M-m=2より
2
9
(4t+2)-(t-1)=
2
∴.t
==
(条件を満たす)
2
①: -t <-1 すなわち 1<t のとき
・点A(4,2)を通るときは最大となるから M = 4t + 2
•
0(0, 0)を通るときは最小となるからm= 0
9
M -m=
より
2
アイより
=
答
1-2
9
(4t+2)-0
2
=
5
(条件を満たさないから不適)

ページ12:

最大
A
最小
P
傾きが-1
ここを境に場合分け

ページ13:

最大
最小
P
A