ページ3:

ii. 正四面体 OABCの体積をV, 四面体 HABC の体積をV,四面体
OQBCの体積をVとする。
▷ V はVの何倍??
底面積(△ABC) が等しいので,高さの比が体積の比になる。
直線 OH と底面 ABC の交点を R とすると, 共線条件により
1
-
←
1
→
1
OR =mOH
2
=-ma+ mb+-mc
6
Rは平面 ABC上の点だから, 共面条件により
OR = OA + αAB +βAC=(1-α-β)a + ab + βc ・④
a,b,cは一次独立だから, ③と④の係数をみくらべて
-m=1-α-β,
-m=l,
2
-m=β
これらを連立方程式として解くと m=
a =- B
これを③に代入するとOR=2OH
よって、高さの比が1:6だから V:V= 1:6
すなわち
V₁ = 1/1v

ページ4:

(2) OP= ==a+-b
i.点 H は直線 CP 上にあるので、 共線条件により
OH = OC+kCP
= OC+k(OP - OC)
1
===—-—
5
→
3
ka+-kb+(1-k)c
5
OH⊥CP だから, ベクトルの垂直条件
によりOH・CP = 0 。
H
よって
1→
3
·b - c ) =
5
-k | a |² + ·
k | b |² + (k − 1) | c |²
25
6
3-6k
1-2k-
+— -ka·b+
-b⋅c+
-c⋅a=0
25
5
5
ここで|a|=|b| = |c| =1,
a.b=b.c= =c.a=1x1x cos 60²
=
2
1
727775
kx1²+k
-k×1² + (k − 1)×1²
25
6
25
3-6k 1 1-2k 1
+ -kx-+
X-+
-x-=0
25 2
5
2
5
2
5(3-6k)
5(1-2k)
.. k+9k+25(k − 1) + 3k+·
+
= 0
2
2
5
.k
これを1に代入して OH
=
→
1 →
·a+b+
6 2 6
-C
0

ページ5:

▷VはVの何倍??
△OBC を底面とすると, OQ: OA が体積の比になる。
球面と OA の交点が Q だから, OQ= OH (半径)により
OH の長さがわかればよさげ。
←
1
OH-La+b+c=(a+3b+c)
i より
1
よって |OH|=
1→ 1
6
| OH |² = ± ± − ( a |² +9 | b |² + | c |² +6a+b+6b+c+2c⋅a)
36
-
=(1+9+1+3+3+1)=
(1 + 9 + 1 +3 +3 +1):
36
|OH|>0より |OH|=OQ
よって
√2
√2
V₂
= -V
2
以上より
1√2
=1:3√2
四面体 HABC:四面体 OQBC = V,:V2
=
:
6