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2024年度9月第1回駿ベネ共通テスト模試 自学@Akagi 数学I・数学A 第1問 (配点30) 〔2〕 以下の問題を解答するにあたっては, 必要に応じて○○ページの三角 比の表を用いてよい。 太郎さんと花子さんは, 右の図のような パックを打ち合ってゴールに入れるエアホ ッケーゲームを見て,このゲームの数学的 なモデルを考えてみることにした。 ゴール パック ホッケー台 モデルの設定 ゴール ホッケー台を座標平面上の4点 0(0, 0) B A(35,0),B(35,23), C(0, 23)を頂 C 点とする長方形とみなす。 ・一方のゴールをy軸上の2点D (0, 9), . E E(0, 14)を結ぶ線分とみなし, もう一方 D のゴールを線分AB 上の2点F(35, 9), G(35, 14)を結ぶ線分とみなす。 ただし, O ゴールは端点を含む。 'P Ax ・パックの大きさは考えず, 点とみなす。 この点をPとする。 点Pが 線分 DE, FG 上に到達したとき,「ゴールに入った」 とみなす。 点P が線分 DE, FG の端点に当たったときも 「ゴールに入った」 とみなす。
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(1) PD = 19, PE=16 とする。 DE=【ソ】であるから, ∠PED において cOS ∠PED = 【夕】, sin ∠PED =【チ】 である。 また, ∠DPE の大きさは約 【ツ】である。ただし,必要に応じて√2 =1.4, √3 = 1.7 を用いてもよい。 【タ】, 【チ】の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 3 2 -1 - - 2 2 12 2 2 3 1 2 12 0 【ツ】については,最も適当なものを,次の①~④のうちから一つ選べ。 ⑩ 3 ① 8 13 18 23
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(2)点PはH(24, y) (0≦y≦23)にあるとする。 点H から, ゴール DE をめがけてパックを打ち込む場合を考える。 太郎: <DHEの大きさが大きい方がゴールに入れやすいね。 花子: △HED の外接円を考えることで、 DHE の大きさが最も大きく なる点 H の位置を考えてみよう。 △HED の外接円の半径をR とすると, DE の長さは一定であるから, 【テ】。よって, ∠DHE の大きさが最大となる点 H のy座標は 【ト】 である。 【テ】の解答群 ⑩ Rが大きいほど, DHE の大きさは大きい ① Rが小さいほど、 ∠DHE の大きさは大きい ②Rの大小では, ∠DHE の大きさは決まらない 【ト】の解答群 23 O 0 ①9 (3) 14 ④ 23 2
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(3)二人は, 右の図のようにパックを辺 BC に1回当ててからゴール DEに入れる場 合について,次のように話をしている。 y B C P E G 花子 : パックをどの向きに打てばいい のかな。 D F 太郎 : 三角形の相似が使えそうだね。 Ax パックが台上の辺(ただし, ゴールの部分 を除く)に当たったとき, 右の図のように進む。 a a a 点PはT(24,21) にあるとする。 点 T から辺 BC に垂直な直線を引き,辺 BC と の交点を Q とする。 パックを辺 BC 上の点 Rに当てて,点Dでゴール DE に入れる場 合を考える。 y+ RQ B T E G このとき, ∠TRQ = ∠DRC であるから, △TQR∽△DCR が成り立つ。 D F よって, 点R の x 座標は【ナニ】であり, <QTR =0, とすると, 0, の大きさは約 【ヌ】である。 【ヌ】については, 最も適当なものを,次の①~⑥のうちから一つ選べ。 Ax 11 23 56 (5) 67 34 79 45 同様にして, Tにあるパックを辺BC 上の点Sに当てて,点Eでゴール DE に入れる場合を考える。 このとき,∠QTS =02とし, 02-0の大きさを求めると約【ネ】ある。 【ネ】については, 最も適当なものを,次の①~④うちから一つ選べ。 2 ①9 12 18 25
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三角比の表 90123456789012 sin coso tan 0 0 sin O coso tan 0 0.0000 1.0000 0.0000 45° 0.7071 0.7071 1.0000 0.0175 0.9998 0.0175 46° 0.7193 0.6947 1.0355 2° 0.0349 0.9994 0.0349 47° 0.7314 0.6820 1.0724 0.0523 0.9986 0.0524 48° 2° 0.7431 0.6691 1.1106 4° 0.0698 0.9976 0.0699 49° 0.7547 0.6561 1.1504 0.0872 0.9962 0.0875 0.1045 0.9945 0.1219 0.1051 0.9925 0.1228 0.1392 0.9903 0.1405 9。 0.1564 0.9877 0.1584 10° 0.1736 0.9848 0.1763 0.1908 0.9816 0.1944 12° 0.2079 0.9781 0.2126 13° 0.2250 0.9744 0.2309 14° 0.2419 0.9703 0.2493 15° 0.2588 0.9659 0.2679 16° 0.2756 0.9613 0.2867 17° 0.2924 0.9563 0.3057 18° 0.3090 0.9511 0.3249 19° 0.3256 0.9455 0.3443 20° 0.3420 0.9397 0.3640 21° 0.3584 0.9336 0.3839 22° 0.3746 0.9272 0.4040 23° 0.3907 0.9205 0.4245 24° 0.4067 0.9135 0.4452 25° 0.4226 0.9063 0.4663 26° 0.4384 0.8988 0.4877 27° 0.4540 0.8910 0.5095 28° 0.4695 0.8829 0.5317 29° 0.4848 0.8746 0.5543 30° 0.5000 0.8660 0.5774 31° 0.5150 32° 0.8572 0.5299 0.8480 0.6249 0.6009 33° 0.5446 0.8387 0.6494 34° 0.5592 0.8290 0.6745 35° 0.5736 0.8192 0.7002 36° 0.5878 37° 0.6018 0.8090 0.7986 0.7536 0.7265 38° 0.6157 0.7880 0.7813 39° 0.6293 0.7771 0.8098 84° 40° 0.6428 0.7660 0.8391 85° 41° 0.6561 0.7547 0.8693 86° 42° 0.6691 0.7431 0.9004 87° 43° 0.6820 0.7314 0.9325 88° 44° 0.6947 0.7193 0.9657 89° 45° 0.7071 0.7071 1.0000 90° 822028 820 8222 22832 26292 4 3 3 4 5 50° 0.7660 0.6428 1.1918 51° 0.7771 0.6293 1.2349 52° 0.7880 0.6157 1.2799 53° 0.7986 0.6018 1.3270 54° 0.8090 0.5878 1.3764 55° 0.8192 0.5736 1.4281 56° 0.8290 0.5592 1.4826 57° 0.8387 0.5446 1.5399 58° 0.8480 0.5299 1.6003 59° 0.8572 0.5150 1.6643 60° 0.8660 0.5000 1.7321 61° 0.8746 0.4848 1.8040 。 62° 0.8829 0.4695 1.8807 63° 0.8910 0.4540 1.9626 64° 0.8988 0.4384 2.0503 65° 0.9063 0.4226 2.1445 66° 0.9135 0.4067 2.2460 67° 0.9205 0.3907 2.3559 68° 0.9272 0.3746 2.4751 69° 0.9336 0.3584 2.6051 70° 0.9397 0.3420 2.7475 71° 0.9455 0.3256 2.9042 72° 0.9511 0.3090 3.0777 73° 0.9563 0.2924 3.2709 74° 0.9613 0.2756 3.4874 75° 0.9659 0.2588 3.7321 76° 0.9703 0.2419 4.0108 77° 0.9744 0.2250 4.3315 78° 0.9781 0.2079 4.7046 79° 0.9816 0.1908、 5.1446 80° 0.9848 0.1736 5.6713 81゜ 0.9877 0.1564 6.3138 82° 0.9903 0.1392 7.1154 83° 0.9925 0.1219 8.1443 0.9945 0.1045 9.5144 0.9962 0.0872 11.4301 0.9976 0.0698 14.3007 0.9986 0.0523 19.0811 0.9994 0.0349 28.6363 0.9998 0.0175 57.2900 1.0000 0.0000
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自学@Akagi 数学Ⅰ・数学A 第1問 〔2〕0(0, 0) A(35, 0) B(35,23) C(0, 23) D(0, 9) E(0, 14) F(35, 9) G(35,14) (1) PD = 19, PE = 16 DE =14-9=5 だから, △PED で余弦定理により P 16 192 = 52 +162-2x5x16cos ∠PED E 19 1 ∴.cos ∠PED --- 5 2 D これと, 三角比の相互関係により √√√3 = sin ∠PED = √1-cos? ∠PED = = さらに, 正弦定理により 5 19 5√35×1.7 ∴. sin <DPE = = = 0.223... sin ZDPE 38 38 三角比の表より <DPE = 13° =
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(2)△HED の外接円の半径をR とすると, 正弦定理により DE 2R = sin ZDHE 5 ... sin ZDHE = 2R <DHE は鋭角だから, 分母(R)が大きいほど DHE の大きさは 小さい 大きい。 ⑩ <DHE が最大となるとは, △HED がx= 24と接するとき, すなわち △HED が HE=HD の二等辺三角形になるときだから 5 y=OD+-DE = 9+ =- 2 23 2
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(3) 点 R の x 座標 △TQR∽△DCR (2組の角がそれぞれ等しい)で, 相似な図形の対応 する辺の比は等しいから QR : CR = TQ:DC= (23-21):(23-9)=1:7 7 よって CR = 24× = 21 ▷Oの大きさ QR △TQR で tan O = = =1.5 TQ D 三角比の表で確認すると・・・ ▷02-01の大きさ △TQS∽△ECS より 56° < 0, <57°だから ④ QS : CS = TQ:EC = 2:9 E 2 48 QS 24 よって, QS = 24× *) tan ₂ = = = = 2.18... 11 TQ 11 三角比の表で確認すると・・・・・ 65° < 6 <66° したがって 65° - 57° < 02 - 0 <66° - 56° より 8° < 02 - 0 < 10°① R Q S T
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