ページ1:

π
4
Z7 α=2+2i, β=-1+3iとする。 0 を原点とする複素数平面上で, αを
表す点を A, β を表す点を B とする。また, 点 A を点 B を中心として
だけ回転した点をCとする。 さらに, 直線 BC と虚軸との交点をDとする。
ただし, iは虚数単位とする。
(1)Pをx+yi(x, yは実数)の形に表せ。また,Pをr(cos0 + isin9)
a
a
(r>0,0≦02)の形で表すとき, cose, sin0 の値を求めよ。
(2)点 D を表す複素数をti (tは実数)とする。 tの値を求めよ。
(3) △ABD の外接円の中心をEとする。 点Eを表す複素数を求めよ。
また, △ABE の面積を求めよ。
(配点 40)

ページ2:

+ i答
●数学問題:Z7 (複素数平面) 自学 @Akagi♥
(1)a=2+2i,β=-1+3iより
▷
β_-1+3i_(-1+3i)(2-2i)_4+8i 1
=
a 2+2i (2+2i)(2-2i)
分母の実数化
4+4
-
▷ 絶対値 r=
県
=
+12
a
▷ 偏角
coso=
=
2
1
r =
√√√5
D
1-2
5
√5
2
=
√5
sin 0
=
√√√5
2
=
2√√5
2

ページ3:

(2)点 C(y)とする。 Bを中心として A を 45°回転した点がCだから,
回転公式より
y=(a-β)(cos^ +isin^) + B
4
={(2+2i)-(-1+3i)}(-
—......
√√2
+ i) + (−1+3i)
=(2√2-1)+(√2+3) iC (2√2-1, √2+3)
よって, 直線 BC の式は定点公式により
y-3=-
(√2+
+3)-3
1
7
(x+1)
y=-x+-
(2√2-1)-(-1)
直線 BC のy切片がつ だから D(f)=
=D (1/21) 12/1
t =

ページ4:

(3)~前半~
1-4
D(ti)
お絵かきすると(ちょっと変だけど･･･)
B(β)
弧 AD の円周角∠ABD= : 45°
だから, 中心角は∠AED=90°
よって, △EAD は EA = ED の
直角二等辺三角形だから,
E(8)
D'
Aを中心としてDを45°回転して
倍した点がE。
√2
点Eを表す複素数をδとすると
π
8=(ti-a)(cos-+isin- - x 1/12
4
×
+α
7
=-2-2010x+12+20=
+(2+2i):
1 7
+
4 4
i-2-2i)(-
-i A
A(a)

ページ5:

(3)~後半~
∠ABD = ∠AOD = 45° だから, 直線 AD に対して同じ側の円周角
が等しいので4点 0, A, D, Bは同一円周上 (中心E) にある。
(中3:円周角の定理の逆)
.7
△ABE で, EA =EB = EO = |8| =
=
+
=
5√√2
4
∠AEB = 2∠AOB = 20
よって,三角形の面積を求める公式により
1
S=-xEA×EB x sin 20
2
1
=-xEA×EB x 2sinOcos0 ※倍角公式
15√2 5√√2 2√5 √5
==X
4
-x2x
× (∵(1))
54
||