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事実上、2次の三角関数の方程式の解を定数aの値で分類する問題です。
ポイントは

① 方程式を1つの三角関数に統一する(この問題ではcosθ)。
② 方程式を整理して『定数(a)の分離』を行う。
③ cosθを見やすい文字、例えばtなどに置き換え方程式を見やすくする。
④ tとcosθは1対1対応しない
→−1＜t＜1のときθは2個
　t＝1または−1のときθはそれぞれ1個ずつ
　t＜−1、1＜tのときθは0個
⑤ 方程式はy＝(定義域が−1≦t≦1の2次関数)と
　y＝a(x軸に平行な直線)に分けて考える。
　

定義域が−1≦t≦1の2次関数は、定義域は実線、それ以外は破線で
端点の座標を明確にするなど正確に書きましょう。

下にt＝cosθのグラフを縦に挿入しておきました。経験上、私立の
男子校の生徒さんはこのグラフを喜んでくれる傾向があります。

はじめは複雑で理解しにくいかもしれませんが、手を動かしてグラフ
を書いているうちにすっと理解できるタイミングがくると思います。