ページ1:

空間中的直線與平面
空間與平面的區別.
(1)平面:只有「前後」與「左右」兩種方向的運動
其範圍必在平面上。
(2)空間:具有「前後」、「左右」與「上下」三種方向的運動,
其範圍為空間。
二、決定直線的條件
通過空間中相異兩點,恰有一直線存在。
三、決定平面的條件
(1)經過不共線的三點,恰有一個平面。(如四)
經過一直線與線外一點,恰有一個平面。(如②)
(3)經過兩相交直線,恰有一個平面。(如③)
(4)經過兩平行線,恰有一個平面(如(四)
A
③
A
C
B
1
L2
B
L
c
A
B
A

ページ2:

圖形間的關係
直線&平面(3種關係)
小L交於一點P(如四)
2) L
↓平行E(無交點)(如回)
(3)L在E上(無限多個交點)(如③)
P
/E
☆如果一直線L上有相異的點A,B均在平面E上
則直線L整條均在平面E上。
平面&平面(3種關係)
Et
E ₁ & Ez & 7 7 ( #2 0 )
(2)E&E2交於一線L(如②)
(3)E&E2重合(如③ )
6
E₁
E1
③
Ez
✓
E2
E₁ = E2

ページ3:

OCR失敗: NoMethodError undefined method `first' for nil:NilClass

ページ4:

二面角
1. 若不在同一平面二半平面有相同之後,則此兩半平面
與其公共稜三者之聯集稱為二面角。
2. 在一個二面角的稜上任取一點A,分別
在二面角的二面上作兩射線店、成,
並使高、成都與二面角的垂直
·B
則LBAC的度量就稱為這個二面角的度量,LBAC稱
為這個二面角的一個平面角。
三垂線定理
設直線能與平面E垂直於B點,
在平面上,直線與直線L
垂直於C點,則直線能也與直
線L垂直於C點。
L
必
RE

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立方體公式
小
1)
正三角形邊長為a,則:
D
①高二~四面積:
②外接圆半徑=a@內切圓半徑=a
柱體體積:底面積x高②錐體體積=x底面積×高
③球體半徑為,則
:
a. 表面積=4xr²b.體積=15ㄦr
(3)正四面體之稜長為a,則:
①高="a②體積=
③ 外接球半徑:導入內切球半徑=a

ページ6:

空間座標系
點的座標
CCO, 0,C)
Aca,0,0
个区
(Playb, c)
·B (o, b, 0)
y
Dla, b, 0)
二、坐標平面與卦限
,空間座標中,x軸與y軸所在的平面稱為y平面;
y軸與已軸所在的平面稱為yz平面;x軸與2軸所
在的平面稱為208平面。
(2)xy平面,忆平面,XZ平面將空間分割成8個部分,
每一部分稱為一個卦限,而當x,y,z的坐標均為
正數時所在區域稱為第一卦限。
(+, ++)
'

ページ7:

設p(a,b,c)為空間一點
投影點座標 對稱點座標
LE
AL
xy平面
(a,b,
, 0 )
(a, b, c)
14
yz 平面
co, b, c)
(-a, b, c)
Tal
x区平面
(a, b, c)
(a,b,c)
Ibl
x軸
(a, 0, 0)
(a,b,-c)
√63+ c²
y軸
(o, b, 0)
(-a, b, -c)
Sa+c
已軸
(D,D,C)
(-a,-b, c)
√a² + b²
原點
(0,0,0)
(-a, -b-c)
√a+b+c
'
P(-a,b,c)
(0,0,0)
co, b, c)
co, b, 0)
+ y
Pla, b, c)
(a, b, c)
ca, o,C)
(0,0,0)
(a,0,0) (a, b, 0)
x
(a,b,c)

ページ8:

距離公式
設空間中兩點P (x,y,z),Q(x,y,zz),則
PQ = (X₁ - X2)² + ( 4 ₁ - Y²)² + (Z1-Z2)²
分點公式
空間中三點A(X,y,z),B(x,y,zz), P(x,y,z),
:
(1) 11 A - P - B A AP = BP
x =
= m=n, 21]
mx2+nxi
m+n
·Y =
myz+hyi
mth
1 2 =
MZz+nzi
mth
Z1+2)。
-
> AB Z | 1 & M ( x1 + x 2 11 + 1/2, 21 +22
中
A+B
(M =
2
2
,
2
⇒ 二端點之算數平均)

ページ9:

空間向量的座標表示
定義
空間中兩點A(x,y,z),B(xx,y,zz),則
AB = (x2-x₁, yo-y₁, 22-2₁) • (**&b - £e£t)
絕對值(長度))
。
分量平方和)
| AB₁ = ĀB = √(x² - X₁)² + (y²-y₁)*+ (22-21)² • (√547770)
== (xz-x)+(yz-yi)+(22-21)
三、空間向量的加減與係數積3
a = (x₁, y₁₁ Z₁) · 5 = (X2, Y2, Z2), α ERR!
,
a = b = x₁ = x 2 1 Y ₁ = 72, Z₁ = Z2 = à 157 b
(a) à ± 5 = ( x, I xz, Y₁ ± Yz, Z, ± Zz )
31 αå= | αxı, ayı, xZ.)
=
x2
2
=
Y₁
yz
=
71
Z2

ページ10:

空間向量的內積
à = (x₁, Y., B₁), B = (X, Y, Z), AP (0's. 0 5 180)
•
(1) ā⋅ b = | all bl Cost = x₁x2 +4₁ Yz + Z1 Z2
☆乘完再加
☆始點重合為一
3) Co₂ d =
Co₂O
Tallbl
(3) à + b = à b=0 <=> Xi Xz + Yi Yz + Z1 Zz =D
(4)六在古上的正射影為(一)后
à在它上的正射影長為
'
同
7

ページ11:

柯西不等式
設a,b,c,x,y,zER,則:
(a²+b²+e)(x+y+z²)=(ax+by+(2)
正帶
子,
香液
注
溶
極
子
而當等號成立時
=
b
y
平行成比例.
空間向量的外積
一、外積的定義了
設=(x,y,E),启=(x,y,zz),則定義與古之外積(是一個
化
YI
Y21
y₁
11) ½ a x ¯ = c | 21 | 1 | 2 2 x | | x2 x | ) = (412-7221, X21 x124)
X1/2-X21170
法外積的性質了
X2
六與古為空間中不平行的工向量,則
()àx方:表示由à(以右手四指)掃向言,
則大拇指的方向為àx方。
15
10
b
(2)à方為à與方的一個公垂向量,即(x)上à
且(àx)」。
(3) à xÒ=-(xà),外積無交換行
1

ページ12:

三、外積與面積}
(1)à與方所張之面積=口= //們公=1元)
(2)若O,A,B三點共線,則=10×1=0
四、外積與體積}
設à,言,它為空間中不共平面的向量,則
小à,方之所張之平行六面體的體積=//àx1.2/
而方方,它所張之四面體的體積= 611x1.1

ページ13:

*三階行列式
xyz
P q r
:
mn
x qn+yrl + zpm - zql - xrm-ypn
xyzxy
P
L l m n l m
一、三階行列式之降階
可依某行或某列展開,注意符號為
· all air ain
An Ass Ass = A Air Ros]
1931 932 933
Azz Azz
A32 A33
Ex
(1)依第一行降階:
All A12 A13
= |
A12 A13
a2z a2z
十
D
-
十
-A21
| A12 α13
a32 33
1 + 931/1912 913/
Azz Azz
1-0322 911 9131
an
all a 12
+ A33
A A23
921 A22
21 the 10 = 191) 35 pet : A21 Aer Auz = A31
1931 032 0331
三、行列式性質(同二階行列式),
(1)行列互換,其值不變
(2)兩列(行)互換,其值變號
(3)一列(行)乘以一數加至另一列(行),其值不變
(4)任一列(行)都可提出常數值
(5)任兩列(行)成比例,其值為0
()某一列(行)為兩個元素合成,可拆成兩個行列式之和

ページ14:

10(1)封建貴族。(2)從向座正
*行列式的幾何應用
1.平面上三點A(X1,Y1)、B(X2,Y2),C(X3,Y3),則
△ABC六面積=1/2
xi
y1
X2 y2.
x3 y3 1.
2. Po 9 9 3 0 A = 14₁₁ y₁, 3.), OB FLX, Y, Z₂), OC = (x.½, E₁)
2
則(1)由À,痕,
所張成的平行方面體體積
X, Y, Z,
= ||OÀ×OB|·0c|= 1
1 x2
y2 8211
X3
y3 83.
XI YI ZI
(2)而四面體(三角錐)O-ABC的體積=6
(註)若四點共平面時,則可利用:體積:0處理。
X2 Y2 Z2 1
1x3 y3 231
3 . F F D L x B 1 1 1 1 1 1 L₁ = ax + boy + C₁ =0, L2: A+ x + b₂Y+C=0,
L3%axx+b3y+Cs=0共度一點,或方程組 {ax+by+G=0恰
b.
一解,則a,b,ci
有一解,
Az b z Cz = 0 LTD #471)
A3 b3 3
arx they + C₂=0
1a3x+b₂y +C 3 = 0