（２）はなんで定義域が実数全体なのか分かりません。勿論ながら連続の判断の仕方も分かりません💦教えてください🙇🙇

STEP B □ 111 次の関数 f(x)の定義域をいえ。 また, 定義域における連続性について調べよ 1 (1) f(x)=- x2-1 x+1 *(2) f(x)=x-[x]

（３）の絶対値あるバージョンのガウス記号で、連続か不連続かを調べるやつが分かりません。絶対値の場合の考え方がいまいちよく分かりません！教えてください

✓ 108 次の関数f(x) が, x=0 で連続であるか不連続であるかを調べよ。 (1) f(x)=√x + 2 *(2) f(x)=[x] *(3) f(x)=[-|x|]

赤線部の極限の解き方が分からないので教えていただきたいです🙇🏻‍♀️💦お願いいたします🙏🏻

170 第5章 微分法の応用 練習問題 6 次の関数の増減 極値, 凹凸, 変曲点を調べ, グラフの概形をかけ、た だし、lim = 0 であることは使ってもよい. (1) y=- 2 er (2)y= 1 2+1 精講 練習問題5の精講で挙げた①~④のチェックリストに, 「①'凹凸, 変曲点」 が加わります。 凹凸まで調べると,かけるグラフの精度がさらに高くなります。 さらに 解答 (1) f(x)= =-* とおく. et 味します。 f'(x)=x'e¯+x(e¯*)'=e¯*-xe¯* = -(x−1) e¯* f'(x)={(x-1)}(x-1)(ex =-e+(x-1)e-=(x-2) e -y=-(x-1) IC limf(x) = lim 81 +0 80 8-14 e 不定形ではない 8 limf(x)=lim 不定形 =0. 00 81I x100e IC これは問題文に与えられている y=x-2 f(x) の増減凹凸は下表のとおり. (-8): 1 2 ... (00) I f'(x) f'(x) f(x) (-) + 0 | 2 e. 2 + =1 の前後で f'(xc) の符号が 正から負になる (極値) x=2の前後で の符号が f"(x) 負から正になる (変曲点) *REO +4 **AR

質問です！大問103のように置換（x−１＝tと置くと…みたいな）しないといけない問題と普通に置換しなくてもできる問題の２種類があるんですけど、置換する場合の見分け方ってありますか？

第2章 極限 第2章 極限 三角関数と極限 1 関数の極限と大小関係 limf(x) = α, limg(x) =β とする。 1 x-a xがαに近いとき、常に f(x)≦g(x) ならば α≦β 2 xがαに近いとき,常に f(x)≦h(x)≦g(x) かつα=B ならば limh(x)=α 注意 上の事柄は,x→∞, x→∞の場合にも成り立つ。 注意2を「はさみうちの原理」 ということがある。 3 limf(x) =∞ のとき,十分大きいxで常に f(x)≦g(x) ならば limg(x) =∞ |2 三角関数と極限 lim x0 sinx =1, x lim -1 (角の単位はラジアン) x-0 sinx STEPA ■次の極限を求めよ。 [ 104, 105] □ 104(1) lim 1-cos 3x x→0 x2 1 *105 (1) limxcos x 0+x 第2節 関数の極限 31 0 x01−cosx sinx2 (2) lim- 1+sinx (2) lim x 例題 7 中心が0, 直径ABが4の半円の弧の中点をMとし,Aから出た光線 が弧 MB上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとする。 (1) 0=∠PAB とするとき, OQの長さを0で表せ。 (2)PがBに限りなく近づくとき, Qはどんな点に近づいていくか。 |指針 Aから出た光線が弧 MB上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとき ∠OPA = ∠OPQ 求めるものを式で表し, 解答 (1) 右の図において sin 0 0 などの極限に帰着させる。 ∠OPQ= ∠OPA=∠OAP=0 ∠PQB= ∠PAQ+ ∠APQ=30 2 *(2) lim (3) lim x tanx x–0 sinx よって ∠OQP=30 △OPQに正弦定理を用いると, OP=2 であるから ✓ 99 次の極限を調べよ。 (1) lim cos- ■次の極限を求めよ。 [ 100~103] 100 (1) lim- x0 OQ 2 sin sin(л-30) 2sin0 また, sin (π-30)=sin30 であるから 0Q=- sin 30 M 30 Q B (2)PがBに限りなく近づくとき, 0 +0 である。このとき sin2x x0 1−cosx 2sin0 2 sinė 30 2 lim OQ= lim -= lim 0 +0 e+o sin30 -+0 3 0 sin 30 3 よって,Qは線分 OB上のOからの距離にある点に近づいていく。圏 □ 106 半径αの円の周上に動点Pと定点Aがある。 Aにおける接線上に AQ=AP であるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがA sin4x xC sin2x *(2) lim x-o sin5x (3) lim x-0 tant sin3x tan2x-sinx □ 101 (1) lim- *(2) lim x→0 x 1-cos 2x x-0 xsinx (3) lim x→0 sin3x+sinx sin2x □102"(1) lim COS X sin2x (2) lim- (3) lim x皿 4 に限りなく近づくとき, PQ の極限値を求めよ。 ただし, AP は ∠AOP AP (0∠AOP</V)に対する弧AP の長さを表す。 ax+b 1 1 2x 107 等式 lim が成り立つように, 定数 α, bの値を定めよ。 COS X 2 103*(1) lim tan x° x0 x *(4) lim sin x x1 x-1 1−cosx t- sinx STEPB *(2) lim X-1 sin(x-x) x一π (5) lim x→0 sinx sin(sinx) (3) limx- lim (x-4)tan.x x- xn (6) limxsin X8

大問105だけ、はさみうちの原理使ってるんですけど、使うときと使わない時の判断ってどうやってるんですか？式のどの部分を見たら「はさみうち」使って解く！って分からんですか？

第2章 極限 三角関数と極限 1 関数の極限と大小関係 limf(x) =α, limg(x) =β とする。 xa pix 1 xがαに近いとき,常に f(x) ≦g(x)ならば a≦β 2xがαに近いとき,常に f(x) (x)g(x) かつα=β ならば limh(x)=a 注意 上の事柄は,x→∞, x→∞の場合にも成り立つ。 ■ 次の極限を求めよ。 [104, 105] 1-cos 3x □ 104(1) lim x→0 x2 1 *105(1) limxcos 0+x x 第2節 関数の極限 31 0 (2) lim sinx2 x01−cosx (2) lim 1+sinx XII∞ x 第2章 極限 注意2を「はさみうちの原理」 ということがある。 例題 3 limf(x)=∞ のとき,十分大きいxで常に f(x)≦g(x) ならば limg(x) =∞ |2 三角関数と極限 sinx lim x0 x x =1, lim -1 (角の単位はラジアン) x-0 sinx STEPA 中心が 0, 直径 ABが4の半円の弧の中点をMとし, Aから出た光線 が弧 MB 上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとする。 (1) 0=∠PAB とするとき, OQ の長さを0で表せ。 (2) PBに限りなく近づくとき, Qはどんな点に近づいていくか。 |指針 Aから出た光線か MB上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとき ∠OPA = ∠OPQ sin O 求めるものを式で表し、 などの極限に帰着させる。 解答 (1) 右の図において ✓ 99 次の極限を調べよ。 ZOQ= ∠OPA=∠OAP=0 ∠PQB= ∠PAQ+ ∠APQ=30 M 2 (1) lim cos- *(2) lim (3)lim x tanx x–0 sinx よって ∠OQP=30 △OPQに正弦定理を用いると,P=2 であるから 30 0 Q B ■次の極限を求めよ。 [ 100~103] ✓ 100 (1) lim x→0 sin 4x XC sin2x *(2) lim x-0 sin5x (3) lim x-0 tant sin3x tan2x-sinx □ 101 (1) lim- *(2) lim x→0 x 1-cos 2x x-0 xsinx (3) lim x→0 sin3x+sinx sin2x □ 102(1) lim COS X x-Sin2x (2) lim- sin2x (3) lim x01−cosx 103*(1) lim tan x X10 x *(4) lim- sinлx x-1 x-1 1−cosx t- sinx STEPB *(2) lim X→π OQ 2 sin O sin(-30) また, sin (π-30)=sin30 であるから 2sin OQ= sin 30 (2)PがBに限りなく近づくとき, 0 +0 である。 このとき 2 sin 2 sin 3 2 lim OQ= lim lim 8+0 o sin 30 0-40 3 0 sin 36 3 よって,Qは線分 OB上の0からの距離にある点に近づいていく。圏 □ 106 半径αの円周上に動点Pと定点Aがある。 Aにおける接線上に AQ=AP であるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがA PQ に限りなく近づくとき, AP の極限値を求めよ。 ただし,Pは ∠AOP (0<< AOP < 1)に対する弧AP の長さを表す。 sin(x-7) x-π (3) lim x-- tanx xn ax+b 1 sin(sinx) (5) lim x→0 sinx 1 107 等式 lim (6) limxsin COS x 2x が成り立つように, 定数a, b の値を定めよ。

この問題で、接線を写真のように置くか、接点を解答のように置くか迷ったのですが、どう判断すればよいですか？回答よろしくお願いします。

例題 D 出 不★★☆☆ 点(α, 0) から曲線 y=logx に異なる2本の接線を引くことができると 定数αの値の範囲を求めよ。 ただし, lim- t 0 を用いてよい。 (1) 817 点 (t, logt) における接線を1とすると 点(α, 0)から→ l が (a, 0) を通る →t と αの方程式 - 【 接線が2本 → 接点が2個 対応を考える «ReAction 接点が与えられていない接線は,接点を文字でおけ 例題 34 () tについての方程式と →みて、異なる2つの 実数解をもつ → tが2個 3 (logx)'= = よりの傾きはあり 1 x ( 章 t₁ t2 接点が異なる 接線の傾きが異なる 接線が異なる Action» 接線の本数は、接点の個数を調べよ 思考のプロセス いろいろな微分の応用 接点をP(t, logt) (t > 0) とおくと、点Pにおける接線の真数条件 moiinA 例題 84 方程式は y-logt = =(x-t) これが点(a,O)を通るから, 0-logt = 1/2(a-t)より y' = 1 x t(1−logt) = a ・① であるから、接点が異なれば接線も異なる。 よって、接点の個数と接線の本数は一致する。 ゆえに、tの方程式 ① は異なる2つの実数解をもつ。 f'(t) =-logt f(t) = t(1-logt) (t > 0) とおくと f'(t) = 0 とするとt=1 ここで,logt = -s とおくと, t→+0 のとき s→∞ となり 1 y' x ol (U) 014 12130-(笑) t (0) 両辺に掛ける。 キのとき 1 1 -キーより, 接点が異 t₁t2 なれば接線の傾きも異な る。 (x) limtlogt = lime*(-s)=i(-1/2)=0 S (S) よって limf(t) = 0 YA また, limf(t) = =-- ∞ であるから, 1- y=a 817 2本の接線を引いた図 例題 118 増減表とグラフは次のようになる。 1 0 e t t 0 ... 1 ... f'(t) f(t) + 0 7 1 y=f(t) ①の実数解は,曲線 y=f(t) と直線 y=αの共有点の 座標であるから, 異なる2つの共有点をもつとき,定数 の値の範囲は 0 <a< 1 Oa y=logx 本の接線が引けるとき, 定数 αの

（2）の0<1/x<1の式に　問題の式を変形させずに入れてはさみうちの原理を使うことは可能ですか？またできないのであればなぜできないのか教えて欲しいです

=10gsx1 =10g3√x 3x-1 CHART 分母分子に 3x-1 を掛 √xで割る。 (1) 不等式 [3]≦3x < [3x]+1が成り立つ。 解答 x0 のとき,各辺をxで割ると [3x] 1 ここで,3< + から x x (s) [3x] 関西大 基本例題 52 関数の極限 (4) *** 2+3x+x) 基本事項 4. 基本 50 (1) lim x 次の極限値を求めよ。 ただし, [x] は x を超えない最大の整数を表す。 ・はさみうちの原理 89 00000 [zais (2) lim(3*+5*)/ 介 p.82 基本事項 基本 21 利用して,まず 針 。 分母分子を 形 することに 込むのもよい。 818 極限が直接求めにくい場合は、 はさみうちの原理 (p.825 ①の2) の利用を考える。 (1) n≦x<n+1 (n は整数) のとき [x]=n すなわち [x]≦x<[x]+1 よって [3x]3x < [3x]+1 この式を利用してf(x)≦ [3x] -≦g(x) x (ただしlimf(x) = limg(x)) となる f(x), g(x) を作り出す。 なお、記号 []はガ →00 ウス記号である。 (2) 底が最大の項でくくり出すと352) 5(/)+112 (2)の極限と {(g)+1} 力な にや 実で学 2 2章 ⑤関数の極限 はさみうちの原理を利用する。x→∞であるから,x>1 すなわち <1と考 えてよい。 の極限を同時に考えていくのは複雑である。そこで, 0 < x 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 203 [3x] [3x] ≤3< 1 + x x x 3-1 [3x] x XC よって ≤3 x x はさみうちの原理 巻 f(x)≦h(x)≦g(x)で limf(x)=limg(x)=α →∞ x→∞ O lim (3-1) =3であるから (2)(3)1 x→∞であるから,x10 < 1/2 <1と考えてよい。 x このとき(23)+1}{(1) +12 <{(1/3)+1} すなわち 1<{(3³)*+1}* <(3)*+1 lim(2/2)+1} =1であるから lim [3x] lim- mil ならばlimh(x)=α =3 x→∞ x→∞ x Anie 3x 底が最大の項でく くり出す (*) A>1のとき,a<b ならば A°<A° 3 +1>1であるか ら, (*) が成り立つ。 -ら、 する。 よってtim(3*+59) - im5(2)' +1-3-1-5 x ・ら から

(2)の問題の積の微分公式の証明の仕方が、答えを見ても分かりません。教えて下さい🙇‍♀️

3 定義、公式の証明 1) 関数f(x)のx=αにおける微分係数の定義を述べよ。 (0) ェ x (2) 関数f(x), g(x) が微分可能であるとする。 積の微分公式 {f(x)g(x)}=f'(x)g(x)+f(x)g' (z) を証明せよ. 0800-1- (宮崎大〉 A(3) f(x)=x" (n=1, 2, 3, ...) に対し,f'(x)=nz"-1であることを,数学的帰納法により 示せ. 定義をしっかり押さえておく 意 (上智大理工) 「連続」「微分可能」の定義をしっかり押さえておこう(p.34) 連続とはグラフがつながっている, 微分可能とはグラフがなめらか,というグラフのイメージをきち んと定式化したものである.なお, x=αで微分可能であれば, x=αで連続である.これは, lim{f(a+h)-f(a)}=lim·n=f' (a).0=0 f(a+h)-f(a) .. limf (a+h)=f(a) h→0 h→0 h→0 と示すことができる. 逆は成り立たない (反例は,f(x)=|x-al). 公式を証明できるようにしておく 教科書に載っている公式を証明せよ,という意表をついた出題 もある. 定義から微分の公式を証明させる問題が多いので, 教科書で確認しておこう. ( ので注意 解答 300 (1.1)\ (1) 極限値lim- h→0 f(a+h)-f(a) h x=αにおける微分係数といい、f'(α) と書く. (2) f (x+h)g(x+h)-f(x)g(x) =f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x) =f(x+h){g (z+h)-g(x)}+{f(x+h)-f(x)}g(x) XN が存在するとき,この値を関数 f(x) のこの極限値が存在するとき、 関 f(x)はx=αで微分可能である という. - ・① ①=f(エ .. -=f(x+h)- h g(x+h)-g(x) h + f(x+h)-f(x) h -g(x) h→0 として,{f(x)g(x)}=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)ol (虹) 上式も公式と同じようにすぐ! ●えるようにしよう (3)(xx)'=nrn-1 ..... ・・・・Aであることを粉学的県紬法)に

微分した式からこのようなグラフが出てくるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️

174 第5章 練習問題 7 についての方程式 e=x+3 の解の個数を求めよ。ただし、 lim 8 et =0 であることは使ってもよい. 精講 方程式を関数のグラフを用いて扱う方法は,すでに数学 I, IIで学 習済みです. 数学Ⅲでは,扱われる関数のバリエーションが多くな りますが、基本的な考え方は何も変わりません. e=x+3⇔e^-x-3=0 解答 を知りた を切るた 心不 f(x)=e-x-3 とおく . 方程式 f(x)=0 の実数解の個数は,f(x)のグラスと軸との共有点 の個数である.そこで, y=f(x) のグラフをかく. f'(x)=e-1- lim f(x) = lim (e^-x-3)=8 8118 [0+∞] 不定形ではない limf(x)=lim(e^-x-3)= lime" →∞ 81円 81X x 3 =8 ex ex y= ex 8 0 [00-00] 不定形 よって, f(x) の増減は下表のとおり。 + -y=1 f'(x) (∞)…… (∞) 0 + f(x) (8)2 (8) y=f(x) のグラフは,右図のようになる. このグラフは、x軸と異なる2点で交わるので, 方程式の解の個数は2つである. 0 +∞ +∞ y=f(x)

赤線部について質問です！ x²をx-1で割るとx+1あまり1になりますが、あまり1の分母にx-1がつくのはなぜですか？🙇🏻‍♀️

例題 8 x² 2 関数 y= x-1 のグラフの概形をかけ。 解答 関数の定義域は x=1である。 f(x)=x1とする。f(x)=x+1+_1 x-1 であるから 1 f'(x)=1-7 x(x-2) = f"(x)=- 2 (x-1)3 (x-1)2 (x-1)2, f(x) の増減やグラフの凹凸は,次の表のようになる。 xC f'(x) f"(x) +- 0 0 1 2 0 + - + + + 極小 ↑ 極大 f(x) 0 また x→1+0 lim_f(x) = 8, limf(x)=-∞ x→1-0 であるから,直線 x=1 はこの曲線の漸近線である。 さらに, lim {f(x)-(x+1)}=0 YA 81X lim {f(x)-(x+1)}= 0 4 y=xt X118 であるから, 直線 y=x+1 も この曲線の漸近線である。 以上から、この関数のグラフの 概形は,右の図のようになる。 1 12 lx=1 f(x)のうち、少