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日本 例題 10
等比数列をなす3数 (等比中項)出
00000
「3つの実数a,b,c に対して,a+b+c=39,abc=1000 とする。
数列 a, b, c が等比数列であるとき, a, b, c の値を求めよ。
CHART & SOLUTION
等比数列 a,b,cの扱い (a, b, cは0ではない)
1 公比をrとして
② b=ac を利用
a, bar, c=ar²
367
365 基本事項 2
1章
この例題では②の方針 (等比中項の性質の利用)の方がスムーズ。 ①の方針の解答は
を参照。
2
等比数列
②の方針
③は等比中項の性質。
解答
a+b+c=39
①, abc=1000
630 19
・・② とする。
数列 a, b, c が等比数列であるから
b2=ac
③
②、③から
1000
6は実数であるから 6=10
このとき, ①から
a+c=29
また,②から
ac=100
よって,α, cは方程式 x229x+100=0 の2つの解である。
x2-29x+100=0 を解いて
ゆえに
よって
x=4,25
(a, c)=(4, 25), (25, 4)
307 (a, b, c)=(4, 10, 25), (25, 10, 4)
別解 abc0から公比≠0であり,b=ar,c=ar2 とする
前ページの
6-103=0 から
を利用。
(6-10)(62+106+100 )
=0
としてもよい。
(x-4)(x-25)=0 (1)
一の方針
と
a+ar+ar2=39
(4)
a・arar2=1000
④から
α(1+r+r2)=39
⑤ から
a°r3=1000(+))=2
ar (=b) は実数であるから
ar=10
⑦
⑥の両辺にを掛けると
30
ar(1+r+r2)=39r
⑦ を代入して整理すると
102-29r+10=0出
よって
.5) (5r-2)=0
5
ゆえに
r=
22
2-5
HATSU (E)
←(ar)-103=0 から
(ar-10) (ar2+10ar+100)
=0
よってar=10,
ar2+10ar+100=0