内(2)
CD の
EM
を取り
正三角
(3)
0°<
よって
sin0=√1-cos'
sin />0であるから
AAEM= AE AM sin 0
2
=
-1/2-2√7-3√/3/15
S=
/21
5 = √1-(√²1)² = √15
6
3√ 35
2
1辺の長さが3の正三角形ABCを底面とし, PA=PB=PC=2 の四面体PABCにおいて頂
練習
170 点P から底面ABCに垂線PHを下ろす。
(1) PHの長さを求めよ。
(2) 四面体 PABC の体積を求めよ。
(3) 点Hから3点P, A, B を通る平面に下ろした垂線の長さんを求めよ。
P
(1) APAH, △PBH, APCH はいずれ
も∠H=90°の直角三角形であり
PA=PB=PC, PHは共通
であるから
よって
AH=BH=CH
A
ゆえに,Hは△ABCの外接円の中心であり, AHは△ABC
の外接円の半径であるから, △ABCにおいて, 正弦定理によ
3
り
=2AH
sin 60°
APAH=APBH=APCH
3
よって
3 √3
AH=
3
2sin 60° 2 2
÷
=√3
△PAH は直角三角形であるから, 三平方の定理により
PH=√PA²-AH²=√22-(√3)=1
(2) 正三角形ABCの面積をSとすると
9 √3
3.3 sin 60°
2
2 2
よって,四面体 PABC の体積を Vとすると
DAV=
=1/23・S・PH=
1.9√3
4
•
6
・1=
9√3
4
3√3
4
H
B
←正弦定理により
AB
=2R
sin 60°
Rは△ABCの外接円の
半径で, R=AH である。
←四面体PABCは三角
であり、 体積は
1/3×(底面積)×(高さ)
で求められる。△ABC
を底面とすると, 高さは
PH。
4章
練習
[図形と計量]