このポイントってなんで成り立つんですか？？

POINT 2 変数 x の関数の最小値 α(x,yの式)2+6(yの式)2+k a, b, c,d,e, kを定数として a(x+cy+d)2+b(y+e)2+k (a>0,6>0) と変形できるなら, x+cy+d= 0, y+e=0 で最小値をとる。

この問題で、X🟰2分の3が何故最大値になるのかを教えて欲しいです、、！ 2分の9になるから1番大きいから最大値、ではなくて、何故2分の3という数字がパッと出てきたのか…教えて欲しいです( ; ; ) X🟰0,3 はどちらかが0になるからという理由みたいな感じでお願いします... 続きを読む

次に, x,yがともに変数である, 2変数関数の最大・最小の復習をしよう。 問題3 SA x≧0、y≧0,x+y=6のとき, xyの最大値、最小値と,そのときのx,yの値を求めよ。

数Iの2変数関数の最大・最小の問題です。 1枚目の写真では-(y+1)^2の部分が直前の{}^2の部分に入っていないのに、2枚目の写真では-(y-3/2)^2の部分が{}の部分に入っているのでしょうか。 なぜ違いがあるのか教えてください。 よろしくお願いします。

FREE Pをxについて整理すると P=x2-2xy+3y² -2x+10y + 1 =x2-2(y+1)x+3y2 + 10y +1 ={x-(y+1)} -(y+ 1)2 +3y^2 + 10y + 1 =(x-y-1)2 +2y+8y = GENO =(x-y-1)2 + 2(y + 2)² - 8 x, y は実数であるから Bue (x-y-1)≧0, 2(y+2)≧0 等号が成り立つのはx-y-1 = 0 かつ y+2=0 すなわち x = -1, y=-2 -(1-8)= a のときである。 したがって x=-1, y=-2のとき 最小値-8 xについての2次式とみ て,平方完成する。 yは 定数とみて考える。 おyを定数とみたときの最 小値mは m = 2y2+8y この最小値を考えるため, さらに平方完成する。 (実数) ≧0 ■Pの2つの()内が 0となるとき, (0)² +2(0)²-8=-8 より, Pは最小値-8を とる。 る。 7 2次関数の最大・最小

数1です。写真のような問題で、解答を始める前に｢yを定数として｣などの断りを入れなくても良いのですか?? (マーカー部分は覚える為に引いただけで質問内容には関係ありません。)

重要 121 。 づく +3 重要 例題 90 2変数関数の最大・最小(2) B (1) x,yの関数 P=x2+3y'+4x-6y+2の最小値を求めよ。 C (2) x,yの関数Q=x²-2xy+2y²-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 (1),(2) は, 最小値をとるときのx,yの値も示せ。 [(2) 類 摂南大] 基本79 指針 (1) 特に条件が示されていないから,x,yは互いに関係なく値をとる変数である。 このようなときは,次のように考えるとよい。 x,yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて,Pをまずx の2次式とみる。そして,Pを基本形 a(x-b) + α に変形。 ② 残ったg(yの2次式)も、基本形 b(y-r)'+s に変形。 ③3 P=ax+by'+s (a>0,6> 0, s は定数) の形。 →Pは X=Y=0のとき最小値をとる。 (2) xyの項があるが, 方針は (1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}'+d(y-r)" s の形に変 形。 CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理

詳しくなんでそうなるのかも含めて教えてください

重要 例題 119 2変数関数の最大・最小(4) 00000 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。 21744 [類 南山大〕 基本98 指針▷条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x+y²=2 から文字を減らしても, 2x+yは x,yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで、x+y=tとおき、これを条件式とみて文字を減らすとなりぬる 計算しやすいように y=t-2x としてyを消去し, x2+y2=2に代入すると x2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると,t のとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ⇔D≧0の利用。 ***** CHART 最大 おいて, 実数解をもつ条件利用 No. 187 THAHO

判別式を用いる2変数関数の最大最小の問題はメジャーですか？tで置き換えて判別式で求める方法があまりしっくりきません。

重要 例題 1192変数関数の最大・最小 (4) 00000 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。 [類 南山大] 基本98 指針 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2から文字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで, 2.x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2x としてyを消去し, x+y2=2に代入すると x2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ⇔D≧0の利用。 CHART 最大･最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用 解答 2x+y=tとおくと y=t-2x... ① これを x2+y2=2に代入すると 整理すると 5x²-4tx+t2-2=0...... ② このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は, ②の判別式をDとすると D≧0 ここで 2=(-2t)²-5(-2)=-(-10) 4 x2+(t-2x)=2 D≧0から t²-10≦0 これを解いて -√10 ≤t≤√10 t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解x=- t=±√10 のとき x=± したがって x= 2√10 5 x=1 2√10 5 2√10 5 '10 y= 5 y=- -4t 2.5 2t 2/4 をもつ。 5 √10 ① から y=± 5 (複号同順) √10 5 のとき最大値 10 のとき最小値-√10 参考 実数 a, b, x, y につ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー・シュワルツの不 等式)。 (ax+by)³s(a+b) (x² + y²) [等号成立はay=bx] a=2, b=1 を代入すると (2x+y)=(2+12)(x2+y²) x2+y²=2 であるから (2x+y)^2≦10 よって -√10 ≤2x+y≤√/10 (等号成立はx=2yのとき) このようにして、左と同じ答 えを導くことができる。 187 3章 13 2次不等式

１番です。この記述でも問題ないですよね？

140 重要 例題 87 2変数関数の最大 最小 (2) (1) x,yの関数 P=x2+3y²+4x-6y+2の最小値を求めよ。 (2) x,yの関数Q=x²-2xy+2y²-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 (1), (2) , 最小値をとるときのx,yの値も示せ。 解答 (1) P=x2+4x+3y²-6y+2 指針 (1) 特に条件が示されていないから, x, y は互いに関係なく値をとる変数である。 このようなときは,次のように考えるとよい。 の文 ① x,yのうち 2次式とみる。 そして,Pを基本形α(xp)+αに変形。 ② 残ったg(yの2次式)も、基本形 b(y-r)" +s に変形。 3③ P=ax2+ by'+s (a> 0, b>0, s は定数) の形。 =(x+2)²-22+3y²-6y+2 =(x+2)^+3(y-1)²-3・12−2 = (x+2)²+3(y-1)²-5 →Pは X=Y=0のとき最小値 sをとる。 (2) xy の項があるが,方針は (1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}'+d(y-r2s の形に変形。 CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 x, y は実数であるから (x+2)^≧0, (y-1)≧0 よって,Pはx+2=0, y-1=0のとき最小となる。 ゆえに x=-2, y=1のとき最小値-5 (2) Q=x2-2xy+2y²-2y+4x+6 =x2-2(y-2)x+2y²-2y+6 ={x-(y-2)}^-(y-2)^+2y²-2y+6 =(x-y+2)^+y^+2y+2 =(x-y+2)+(y+1)^-12+2 =(x-y+2)^+(y+1)^+1 [(1) 類豊橋技科大, (2) 類 摂南大] x, y は実数であるから ここではyとする) を定数と考えて,Pをまずxの (x-y+2)^2≧0, (y+1)^≧0 よって,Qx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 x-y+2=0, y+1=0を解くと ゆえに 00000 練習 ④ 87 (2) x,yの関数 10² 基本7 x=-3, y=-1のとき最小値18耐大 N まず, xについて基本形に。 次に, y について基本形に。 <P=aX2+bY2+sの形。 (実数) 0 <x+2=0, y-1=0 を解く と x=-2, y=1 x2+x+の形に。 まず, xについて基本形に。 次に, yについて基本形に。 x=-3, y=-1 最小値をとるx,yの値は 連立方程式の解。 ◄Q=aX²+by² +soft. (実数) 20 (1) x,yの関数 P=2x²+y²-4x+10y-2の最小値を求めよ。 7

赤線部が分からないのですが、 ①Ｙ=0というのはどのようにして分かるのですか？ ②Xは実数であるからら実数を係数とするこのXの二次方程式は実数解をもつとはどういうことですか？

16 2次関数 6 最大・最小 (2) 例題 6 2変数関数の最大・最小 [11 関西 ] (1) 実数x,yが2x+y=8 を満たすとき, x+y-6x の最大値を求めよ。 [09 愛知工業大] (2) 実数x,yがx-xy+y-y-1=0 を満たすとき,の最大値と最小値を求めよ。 解法へのアプローチ (1) y を消去すると, xの2次関数の最大・最小の問題になる。 このとき, xの変域に注意する。 (2) xの2次方程式とみなすと, これは実数解をもつ。 この実数条件によってyの値の範囲が定まる。 解答 (1) 2x² + y² = 8 y² = 8−2x² ..... y は実数であるから,y≧0より 8-2x²20 したがって, (x+2)(x-2) ≧0より 2≦x≦2...・・・② z=x+y6x とおくと,①から z=x2+ (8-2x2) - 6.x 3y²-4y-4≤0 (3y+2)(y-2) ≤0 // sys2 よって, yの最大値は2,最小値は T 3 -2 ZA |17 16 =-x-6x+8 =-(x+3)^2+17 ②の範囲でグラフをかくと右の図のようになる。 したがって, zはx=2で最大値 16 をとる。 よって, x=-2, y=0 のとき, 最大値 16 (2) 与式をxで整理して x-yx+(y-y-1)=0 x は実数であるから,実数を係数とするこのxの2次方程式は実数解をもつ。 したがって, その判別式をDとすると D=(-y)^2-4(y-y-1)≧0 O 2 XC

72、73ともに解説を見ても、よく理解できませんでした…💦 どなたか解説をお願いします！

124 重要例題 72 条件つきの最大・最小 (1) x≧0, y≦0,x-2y=3 のとき, x2+y2 の最大値および最小値を求めよ。 ③ 基本60 重要 104 HART [SOLUTION 条件の式 文字を減らす方針でいく 変域にも注意 一見, 2変数x,yの最小問題であるが,条件の式を変形すると x=2y+3 これを x2+y2に代入すると x2+y²=(2y+3)2+y2 となる。 これはyの2次式であるから, 基本形に変形すると最大値と最小値を求められる。 ここで, 消去する文字の条件 (x≧0) を 残す文字 (y) の条件におき換えておくように。 解答 x-2y=3から x=2y+3 ..・・・・ ① x≧0であるから 2y+320 y≤0 との共通範囲は -sy≤0 ...... 2 ① また x2+y²=(2y+3)2+y2 =5y²+12y+9 ② において, ③は =6{(x+1)-(1/4)}+9 = 5(y + 5)² + ³/ y=0 で最大値 9. 6 9 y=-1 で最小値号/ 5 をとる。 ① から y=0 のとき y= のとき したがって, x=3, y = 0) x=¾/²³. よって y2-2 y= 6 5 (3) x=3 x=2(一号) +3=1号/ で最大値 9, 9 で最小値 x2+yin 最大19 最小 をとる。 0 y <消去する文字の条件 (x≧0) を 残す文字 条件 (-2)におき 換えておく。 ① x を消去する。 消去する文字は係数が 1-1のものを選ぶ とよい。 基本形に変形。 infy を消去する場合は x = -1/(x- から x² + y² = x² + (x-3) ² (x-3) (0≤x≤3) となる。 inf. 設問で要求されてい なくても、最大値・最小値 を与えるx,yの値は示し ておくようにしよう。 PRACTICE 72⁰ (1) x+2y=3 のとき, x2+2y2 の最小値を求めよ。 (2) 2x+y=10 (1≦x≦5) のとき, xy の最大値および最小値を求めよ。 〔(2) 常葉学園大] 重要 例題 73 2変数関数の最大・最小 x,yを実数とするとき, x2-4xy+7y²-4y+3 の最小値を求め, そのときの x, yの値を求めよ。 基本 59 CHART & SOLUTION 前の例題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから,この例題のxとyは互 いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず,まず,yを定数と考えて, 式をxの2次関数とみる。 そして 基本形 a(x-p)^+α に変形する。 そして, 更に残った定数項」(yの2次式) も 基本形 b(y-r)'+s に変形する。 ここで、 次の関係を利用する。 実数X, Yについて X'≧0, Y'≧0であるから, 解答 aX+by^+k (a>0, b>0, kは定数)は X = Y = 0 で最小値々をとる。 x 2-4xy+7y"-4y+3 ={(x-2y)-(2y)"}+7y²-4y+3 =(x-2y)'+3y²4y+3 =(x-2y)*+3((号)-(金)+3 =(x-2y)² + 3(y - 3)² +5 x, y は実数であるから (x-2y)¹20, (y-20 したがって, x-2y=0, y- = 0 すなわち x=1/43, y=1/23 で最小値01/23 をとる。 (実数) ≧0 a(x+ey+d)+b(y+e)2+k yを定数と考え, xにつ いて平方完成。 inf x を定数と考えて 平方完成すると次のように なるが、 結果は同じ。 7y²-4(x+1)y+x+3 =7{y_2(x+1) 1² - 4(x+¹)²+x²+3 =1/(7y-2(x+1)}2 POINT 2変数x,yの関数の最小値 α(x,yの式)+b(yの式)+k a,b,c,d,e, k を定数として (a>0, b>0) と変形できるなら, x+ey+d=0,y+e=0 で最小値をとる。 P RACTICE 73° x,yを実数とする。 6x2 +6xy+3y²-6x-4y+3 の最小値とそのときのx,yの値を 求めよ。 [類 北星学園大 ] 125 3章 8 2次関数の最大・最小と決定

y^2≧0はなんのためにありますか？

202 重要 例題 121 2変数関数の最大・最小 (3) | 実数x,yがx2+2y²=1を満たすとき, x+y2 の最大値と最小値, および2 ときのx,yの値を求めよ。 指針か.150 例題 89 は条件式が1次だったが、2次の場合も方針は同じ。 条件式を利用して、文字を減らす方針でいく。このとき、次の 解答 2点に注意。 [1] 計算しやすい式になるように,消去する文字を決める。 ここでは、条件式をy'=1/12 (1-x^²)と変形して 1/2x+y に代入するとよい。 [2] 残った文字の変域を調べる。 ****** y'=1/12 (1-x4)で,y≧0であることに注目。 ←(実数) CHART 条件式 2²2-1から=1/12 (1-2)・・･・・ ① -(1-x²) 1-x20 2≧0であるから ゆえに よって ① を代入すると (x+1)(x-1)≦0 -1≤x≤1 をとる。 ①から 変域に注意 文字を減らす方針で 1/2 x + x² = -1/2 x ² + 1/2 x + 1/1/2 f(x)はx= 2 これをf(x) とすると、②の範囲で - 1/2 ( x - 72 ) ( + 1/²/3) 1\2 (2) で最大値 58 (x,y) 58 f(x) - 1020 = ± √/12 (1-1) = X 土 x=-1のときy'=0 したがって 2 最小 0 x=-1で最小値- V8 5 8 最大 y = 0 12 12 (x,y)=(1/24) のとき最大値 8 √6 4 緑習 実数x,yがx+yを満たすとき, 2x+2y-1の最 ③ 121 ときのx,yの値を I 条件式は x,yともに2 計算する式は xが1次が であるから」を注ぎ るしかない。 xの2次式 基本形に直す。 ²+ = -1/- (²-11 +(-3)** (1-8²) y= 重 実求 (税込 [指] 解答